Frage von bakic, 51

Oberflächenaufgabe,Volumen extremal?

Hallo :-) ich verstehe alle Schritte mehr oder weniger. Nur leider verstehe ich nicht wie man von der Oberflächenformel zur zusammengefassten (Nebenbedingung) kommt.

Antwort
von surbahar53, 25

Es handelt sich um das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a,a und h Einheiten. Gefragt ist nach dem maximalen Volumen bei einer gegebenen Oberfläche von 100 Einheiten, und die Oberfläche ist gegeben durch

O(a,h) = 2 * a * a + 4 * a * h (Summe aller Seitenflächen)

Kommentar von bakic ,

Zunächst einmal steht bei der Oberfläche ja O = 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c.

Wie kommt man auf die 2 • a • a wobei am Ende dann a^2 rauskommt (siehe Internetlösung) und wie entsteht die 4 dann?

Kommentar von surbahar53 ,

Die Oberflächenformel bezieht sich erst mal auf einen Quader mit unterschiedlichen Seitenlängen a,b,c. Zwei Seiten haben dann die Fläche a*b, zwei die Fläche a*c und zwei die Fläche b*c, macht als Summe

O = 2*a*b + 2*a*c + 2*b*c.

Jetzt nimmt man a=b an und c=h, also einen Quader mit einem Quadrat als Grundfläche und der Höhe h. Damit vereinfacht die sich die Bestimmung der Oberfläche

O = 2*a*a + 2*a*h + 2*a*h = 2a^2 + 4*a*h

Kommentar von bakic ,

In der Lösung steht vor dem a^2 aber keine 2. Ist das trotzdem richtig?

Kommentar von surbahar53 ,

Die Aufgabe selbst ist zwar nicht sichtbar, trotzdem gehe ich davon aus, dass es 2 * a^2 heissen muss, jedenfalls wenn die gesamte Oberfläche des Quaders gemeint ist.

Kommentar von bakic ,

Ja in der Aufgabenstellung geht es um einen nach oben offenen Karton, ändert das etwas?

Kommentar von surbahar53 ,

Für die Oberfläche eines allgemeinen Quaders mit den Seitenlängen a,b,c gilt

O = 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c.


In der Aufgabestellung hat der Karton nur zwei unterschiedliche Seitenlängen a und h. (b=a, c=h) Also gilt

O = 2 • a • a + 2 • a • h + 2 • a • h

Lässt man eine Seite des Quaders ( Oberseite des Kartons ) weg, ändert sich der Faktor 2 an einer Stelle zu 1. Es ist aber nicht egal, an welcher Stelle. Hat die Oberseite das Format a x a, denn fällt das Produkt a * a einmal weg, hat die Oberseite das Format a x h, dann fällt  das Produkt a * h einmal weg. Das ergibt sich nur aus der Fragestellung.

Aufgrund der angegebenen Formeln, ist die Oberseite des Kartons wohl quadratisch, deswegen bleibt dann nur noch

O = a • a + 2 • a • h + 2 • a • h
O = a • a + 4 • a • h

stehen.

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