Frage von merderzo, 69

Nullstellen von f(x)=8x^6-9x^3+1?

Hallo liebe Community,

folgende Aufgabe: Ich soll die Nullstellen von dieser Funktion:

f(x)=8x^6-9x^3+1 berechnen

Mein Lösungsansatz

f(x)=x^3(8x^2-9)+1 (rausklammern von x^3)

Leider weiß ich nicht, wie ich die Nullstellen davon berechnen soll

Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt und bedanke mich im Voraus

Antwort
von FelixFoxx, 27

f(x)=8x^6-9x³+1

Substituiere y=x³

f(y)=8y²-9y+1=(y-1)(8y-1)

also kann man f(x) schreiben als f(x)=(x³-1)(8x³-1)

f(x)=0 <=> x³-1=0 oder 8x³-1=0 <=> x=1 oder x=1/2

Antwort
von leon31415, 45

x^3 durch a ersetzen und dann Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden. 

Die Schrittweise funktioniert ähnlich wie die für biquadratische Gleichungen, nur dass es hier ein hoch drei ist.

Antwort
von Kito101, 34

Würde nen anderen Ansatz nehmen

Mach Substitution und setz X'3=Z

Dann hast du f(x)=z'2-9z+1 Das kannst du einfach mit pq formel loesen

am ende musst du 3. wurzel ziehen

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 39

Substituiere x³=z und löse dann die entstandene, quadratische Gleichung.

Antwort
von gilgamesch4711, 21

  Was von Schülern erwartet wird; die Substitution

    z  :=  x  ³    (  1a  )

    macht aus deinem Polynom eine gewöhnliche quadratische Gleichung ( QG

    8  z  ²  -  9  z  +  1    (  1b  )

   Schau mal, was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Junge du lebst in aufregenden Zeiten; die Behauptung von Wiki, der SRN gehe auf Opa Gauß zurück, stellt nämlich eine dreiste Fälschung dar. Gauß ist doch Kult; wieso hat denn dein Lehrer noch nie vom SRN gehört? ( Ich weiß; der wollte nur mal euch prüfen. )

   In dem Konkurrenzforum " Lycos " war übrigens kein einziger Schüler oderStudent bereit, meine Info weiter zu geben.  Sag mir mal ein Adjektiv für Leute, die so eine Einstellung haben - mir fällt keins ein.

    Einige User waren sogar Mathe Studienräte. Denen wäre es doch ein Leichtes gewesen, mich auf Gauß zu verweisen. Aber wenn man selbst noch nie davon gehört hat ...

   ( Zu der Zeit wusste ich noch nichts von Wiki und jener verlogenen Behauptung, der SRN gehe auf Gauß zurück. )

   Aufgabenblätter, die bei " Mathelounge " gepostet wurden, belegen eindrucksvoll, dass der durchschnittliche deutsche Hochschullehrer ( ! ) noch nie vom SRN gehört hat.

   Frag mal deinen Lehrer - schönen Gruß. Oder bist etwa auch du ein großer Schweiger? Was du noch nicht wissen kannst: Die einzig ernst zu nehmenden Algebrabücher sind Artin und v.d. Waerden ( 1930 ; euer Lehrer kennt das ) Der soll mal klären, ob diese beiden Herrschaften einen  " SRN " kennen.

   Schau dir bitte nochmal den herkömmlichen Beweis an, warum Wurzel ( 2 ) irrational ( Das war dran ) Und dann überlege dir den selben Beweis über den SRN - und dir wird sofort klar, dass diese Zuschreibung an Gauß eine Fälschung sein muss ( Der SRN wurde um 1990 von einem Genie im Internet entdeckt; ich selbst erfuhr erst 2011 davon. Sag selbst; macht Internet dumm? )

   Und jetzt kommen rein inhaltliche Vorbehalte;  kein Portal erkennt, dass die Aussage des SRN doch nur Sinn hat für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt ; warum? ) Viele gehen gar wie Wiki so weit, gebrochene Koeffizienten zuzuulassen. Statt diesem langatmigen Gelaber hätte eine Zeile genügt

   " Gegeben sei ein promitives Polynom. "

   ( Ein Teorem, das ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel hat, ist längst Wasser dicht formuliert. )

   Jetzt wirst du dich fragen, was du mit dem SRN zu schaffen hast. Noch in der Woche, als mir der SRN mitgeteilt wurde, entdeckte ( und bewies )  ich das folgende

   Korollar ( Zerlegungssatz )

 ====================

    Sei

 f ( z ) := a2 z ² + a1 z + a0   (  2a  )

  a2 = 8 ; a1 = ( - 9 ) ; a0 = 1  ( 2b )

   ein primitives Polynom mit Wurzeln  

  z1;2 := p1;2 / q1;2  €  |Q    (  3a  )

   wobei Darstellung ( 3a ) wie üblich als gekürzt voraus gesetzt sei. Dann gelten die beiden Gilgamesch pq-Formeln

   p1  p2  =  a0  =  1    (  3b  )

   q1  q2  =  a2  =  8   (  3c  )

  =======================

   Identitäten ( 3bc ) bilden den letzten Nagel auf Gauß seinen Sarg; es ist schlechterdings nicht glaubhaft, dass weder Gauß der Entdecker des SRN noch sonst jemand in den letzten 200 Jahren die Bedeutung von ( 3bc ) erkannt haben sollte.

   Wenn man einmal davon ausgeht, dass die Mitternachtsformel kontra-intuitiv ist und dass Schüler seit Je einen pädagogischen Anreiz sehen, wenn man sie knobeln und raten lässt. Längst wären QG über ( 3bc ) eingeführt.

   Wir schaffen es doch eigentlich im Kopf. Wegen ( 3b ) müssen die beiden Wurzeln Stammbrüche sein; die 8 hat die triviale Zerlegung 8 = 1 * 8 so wie die nicht triviale 8 = 2 * 4 . Nur zwei Möglichkeiten

  z1  =  1/8  ;  z2  =  1   (  4a  )

   z1  =  1/4  ;  z2  =  1/2   (  4b  )

   Etwas vorsichtig müssen wir mit dem Vorzeichen sein, da ja in ( 3b )

  " Minus Mal Minus = Plus "

   Hierfür nun gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) die man selbst den Studenten vorenthält, weil sie so nützlich ist:

  " Zwei Mal Plus. "

  0  <  z1  <  =  z2   (  4c  )

   Die Wahl zwischen ( 4a ) und ( 4b ) geht über die Normalform von ( 1b;2ab )

 f  (  z  )  =  z  ²  -  p  z  +  q   (  5a  )

     p  =  9/8  ;  q  =  1/8    (  5b  )

   Hinreichendes Kriterium; überlebenswichtig in jeder Klausur: der Vieta von ( 5ab )

    p  =  z1  +  z2    (  6a  )

    z1 = 1/8 ; z2 = 1 ; p = 9/8   ( 6b ) ;  ok

    Alternative ( 4b ) scheidet schon deshalb aus, weil in ( 6a )

  " viertel + Halbe = Achtel "

   ja nicht möglich ist.

    Jetzt entsinnen wir uns wieder Substitution ( 1a ) ; d.h. du musst noch die Kubikwurzel ziehen.

   " Was ist ein Kubikmeter? Das ist, wenn sich eine Kuh einen Meter bikt ... "

   Kennst du den Elektrodrachen von Stanislav Lem?

  " Und er zoog und zooog und zooog - und siehe da; er zog sich die Wurzel ... "

   x1  =  1/2  ;  x4  =  1    (  7  )

   sind die beiden reellen Nullstellen. Gemäß dem ===> Fundamentalsatz der Algebra hat aber ein Polynom 6. Grades im ===> Komplexen immer genau 6 Wurzeln ===> primitive Einheitswurzeln; du müsstest quasi einsehen, warum eine Gleichung der Form x ³ = 1 automatisch drei bzw. x ^ 6 = 1 sechs Lösungen hat.

Antwort
von skelent, 6

vereinfachen durch substitution oder ähnlichem.
ob mit oder ohne, zum rechnen empfehle ich das Horner-Schema.

dauert zwar ein bissl, ist aber nur Addition und deren Erweiterung, die Multiplikation. d.h. mit ernsthafter Übung kannst du komplexe Nullstellen quasi "im Kopf" ausrechnen.

Antwort
von ScienceFan, 28

Wird wahrscheinlich ein bisschen kompliziert mit dem x^6....

Kommentar von ScienceFan ,

du könntest allerdings substituieren, dann wärs machbar

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

hey, du kannst doch nicht x³ ausklammern wegen der 1 hinten;

Substitution → google

8u² -9u +1 = 0   durch 8 teilen

u² - 9/8 u + 1/8 = 0    pq-Formel

9/16 ± wurzel ( (9/16)² - 1/8)

u = 9/16 ± 7/16

u1 = 1

u2 = 2/16

dann aus den u wurzel ziehen

Antwort
von TememaireLP, 16

Hallo,

wenn ich mich nicht irre ist das ja eine Quadratische Funktion... Formel:

-p/2 +- √ (p/2)^2-q 

Ich denke die ist dir geläufig und dann sind die Nullstellen (bei einer Quadratischen Funktion gibt es immer 2) nachher x1 und x2.

Bei weiteren Fragen gerne nen Kommentar schreiben :)

LG

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