Frage von damiano981, 64

Nullstellen von f(x)= -1/6x^4+x^2-4/3x+0,5 lösen, aber wie ?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

Das Problem ist, wie man auf die ersten Nullstellen kommt.

Es gibt zwar Verfahren, um Gleichungen 4. Grades zu lösen, aber die sind sehr kompliziert.

Die Koeffizienten (Vorfaktoren) sind allesamt rational. Damit bietet es sich an, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren.

0 = -1/6 x^4 + x^2 -4/3 x + 1/2   | ÷ (-1/6)

0 = x^4 - 6 x^2 + 8 x - 3

Tipp: Wenn (wie hier) der Koeffizient der höchsten Potenz der Variablen (hier x^4) 1 ist, sind die ganzzahligen Nullstellen Teiler des "absoluten Gliedes" (des Koeffizienten des Summanden ohne x bzw. von x^0 -- hier (-3))

Die ganzzahligen Teiler von -3 sind nun -3, -1, +1 und +3.

Die probiert man der Reihe nach durch. Falls einer von ihnen passt, teilt man den Term durch (x - x_n) (wobei x_n der entsprechende Teiler ist).

Passende Faktoren probiert man nochmal - es könnte sich ja um eine mehrfache Nullstelle handeln.

In diesem Fall findet man mit diesem Verfahren schon alle Nullstellen.

Antwort
von FelixFoxx, 14

-1/6x^4+x²-4/3x+0,5=0 |*(-6)

x^4-6x²+8x-3=0 | Nullstelle raten, wenn es keine Nullstelle mit den Teilern von 3 gibt, gibt es keine rationale Nullstelle

(x-1)(x³+x²-5x+3)=0 | nochmal raten

(x-1)²(x²+2x-3)=0 | pq-Formel

(x-1)³(x+3)=0

Bei x=1 ist eine dreifache Nullstelle und bei x=-3 ist eine einfache Nullstelle.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Um die Nullstellen dieser Funktion zu bestimmen, musst du faktorisieren und den Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegen:

f(x) = -1/6 * x⁴ + x² - 4/3 * x + 0,5

0 = -1/6 * x⁴ + x² - 4/3 * x + 0,5

0 = (x + 3)(x - 1)(x² - 2x + 1)

0 = (x + 3)(x - 1)(x - 1)²

0 = (x + 3)(x - 1)³

Somit existiert eine dreifache Nullstelle bei x = 1 und eine einfache Nullstelle bei x = -3.

Alternativ dazu ist das mit Polynomdivision möglich.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von damiano981 ,

Vielen Dank für die Hilfe :)

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Antwort
von Mentar, 26

Auf jeden Fall schon mal mit -6 multiplizieren um eine ganzzahlige Gleichung zu bekommen. Dann hat man aber immer noch eine Gleichung 4. Grades. Dafür gibt es die extrem komplizierte Formel von Cardano. Alternativ kann man versuchen durch raten von Nullstellen den Grad der Gleichung zu verringern.

Auf dieser Seite:  http://www.mathportal.org/calculators/solving-equations/polynomial-equation-solv... kann man die Gleichung auch lösen lassen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

mal Hauptnenner nehmen;

mal -6

x^4 - 6x² +8x -3 = 0

x1 = 1 raten, dann Polynomdivision oder Horner Schema

Kommentar von damiano981 ,

Vielen dank :)

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 5

Leider hast Du nicht die Klassenstufe hingeschrieben, da :

Lehrer bis Klasse 11 stellen nur Aufgaben mit glatten Ergebnissen, die man leicht raten kann (-1...4 probieren) -> dann Polynomdivision oder Ausklammern oder https://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema

So ab Klasse 12 kommen Näherungsverfahren wie Bisektion oder Newton-Verfahren. (Bild1 )

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm

Im Studium kommen Cardanischen Formeln kombiniert mit kubischen Hilfsgleichungen (Bild 2)

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Und mit den komplexen Zahlen gibt es auch eine explizite PQRSTUVW-Formel, die hier aber mal bei diesem Spezialfall nicht funktioniert, da Hilfsgrößen alle 0 sind.

Interessant: wenn man statt der -1/6 {was sich automatisch per Button-Druck in reelle Zahl gewandelt wird} die -0.166666666666666666666666666666

eingibt, ergibt trotz 64 Stellen Genauigkeit (intern sogar 192 Stellen) erhebliche Abweichung -> also schönes Beispiel für nichtlineare Fehlerfortpflanzung.

Antwort
von precursor, 9

In deinem Fall reicht schon eine einfache Wertetabelle aus -->

-10 → -1552.83333

-9 → -1000

-8 → -607.5

-7 → -341.33333

-6 → -171.5

-5 → -72

-4 → -20.83333

-3 → 0

-2 → 4.5

-1 → 2.66667

0 → 0.5

1 → 0

2 → -0.83333

3 → -8

4 → -31.5

5 → -85.33333

6 → -187.5

7 → -360

8 → -628.83333

9 → -1024

10 → -1579.5

Du kannst sofort sehen, dass x = -3 und x = 1 Nullstellen sind.

Ob welche davon sogenannte mehrfache Nullstellen sind kannst du durch Polynomdivision durch die Linearfaktoren herausfinden.

Alternativ kannst du auch Fixpunktiteration durchführen (Google !)

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