Frage von so000, 55

Nullstellen von einer Funktion x^3 usw.?

Hallo:)
Ich habe eine Frage :)
Ich habe die Funktion:
F(x)=(x-2)^3-3(x-2)+2
So jetzt wo ich die Wendepunkte und Hoch und Tiefpunkte ausrechnen kann, wollte ich wissen wie man die Nullstellen ausrechnet. :) Aus dieses Thema hatten wir noch nicht,deshalb möchte ich es lernen :)
Kann mir also jemand sagen wie die Nullstellen ausrechnen kann von dieser und von allgemeinen Funktionen ? :) Am besten mit Wege fürs verstehen :))
Also für x^2 benutzt man meistens die pq Formel ,aber was ist mit x^3 oder x^n ? :)

Danke im Voraus :)

Antwort
von Melvissimo, 36

Interessante Frage... Fakt ist:

Falls n > 4 ist, hast du verloren. Da gibt es keine "einfache" Lösungsformel mehr; da musst du also ein Näherungsverfahren benutzen oder hoffen, dass du eine Nullstelle erraten oder geschickt substituieren kannst.

Falls n = 3 oder n = 4 ist, kannst du die Gleichungen mithilfe der Cardanischen Formeln lösen (einfach mal danach googlen), aber die sind so kompliziert, dass man das in der Schule quasi nie macht.

Das "übliche" Vorgehen in der Schule:

  • Errate eine Nullstelle x0 (bei deiner Funktion könnte x0 = 0 funktionieren)
  • Berechne das Ergebnis der Polynomdivision f(x) : (x - x0). In deinem Fall ist ((x-2)^3-3(x-2)+2) : (x - 0) = x^2 - 6x + 9
  • Berechne jetzt die Nullstellen dieses Ergebnisses. Diese Nullstellen zusammen mit x0 sind alle Nullstellen, die f hat.


In deinem Fall hat f also die Nullstellen 0 und 3.

Kommentar von so000 ,

Danke und hmm ok vielen Dank :) wir hatten das polynomdivisiun noch nicht, ist das immer so ,wie es oben beschrieben ist ? :)

Kommentar von Melvissimo ,

Wenn ihr das noch nicht hattet, werdet ihr es noch erklärt bekommen. Das kann euer Lehrer bestimmt besser erklären, als ich es hier über gutefrage könnte ;)

In diesem Fall war "Polynomdivision" auch ein etwas übertriebener Begriff. Wenn du die Funktion einfach ausmultiplizierst, kommst du auf

x^3 - 6x^2 + 9x = 0. 

An dieser Stelle sieht man, dass man ein x ausklammern kann:

x * (x^2 - 6x + 9) = 0. (etwas anderes macht die Polynomdivision übrigens auch nicht: Sie klammert den Faktor (x - x0) aus.)

Hieraus kannst du direkt folgern, dass x = 0 oder x² - 6x + 9 = 0 sein muss.

Kommentar von so000 ,

Ja hoffentlich erklärt er es :) und ahhhh verstehe ok Dankeschön :))

Kommentar von Speedy8Gonzales ,

Hier ist die Polynlmdivision super erklärt: https://m.youtube.com/watch?v=WaRxx94rIgk Das ist ein reiner youtubekanal für mathe. LG

Kommentar von so000 ,

Ohhhh dankeeee 😄😄😄👍🏻

Antwort
von Speedy8Gonzales, 38

Ab x^3 musst du immer erst nullstellen durch probieren herrausfinden und diese abspalten. Das muss man solange fortführen bis man x^2 hat und die mitternachtsfirmel/p+q formel anwenden kann. Wenn x=5 ein nullstelle wäre musst du den funktionsterm durch (x-5) teilen(abspalten)
Und so weiter bis x^2 da steht.
Stand 11Jahrganhstufe.
Lg Soeedy

Kommentar von DoktorMayo ,

Polynomdivision ist nicht immer notwendig! Auch Substitution ist manchmal möglich oder Faktorisieren :)

Antwort
von DoktorMayo, 14

Hmm, leider scheinen hier einige nur Polynomdivision zu kennen.

Es gibt mehrere Möglichkeiten:

  • PQ-Formel (für quadratische Funktionen, kennst du ja schon)
  • Substitution (bei „biquadratischen Gleichungen“)

Hierbei wird eine bestimmte Potenz des x ersetzt, z. B.:

f(x)=x^4-2x^2-3

Substitution („Ersetzung“): z=x^2

Daraus ergibt sich:

f(z)=z^2-2z-3=0

PQ-Formel: z1=1+2=3 v z2=1-2=-1

Resubstitution:

x^2=3 v x^2= -1 -> x∉R

x1/2=± √3

Man kann, wenn möglich, natürlich auch z=x^3 substituieren, wenn man schon Profi ist auch komplexere Terme wie z=x^2+x

  • Faktorisieren:

Hierbei werden Teile des Terms ausgeklammert, z. B.:

f(x)=x^3-2x^2-3x ≡ x(x^2-2x-3)=0

Hierbei bedient man sich des „Satz des Nullprodukts“:

Ein Produkt ist gleich null, wenn der eine oder der andere Faktor gleich null ist.

x1=0 v x^2-2x-3=0 („v“ ist das mathematische Zeichen für „oder“, das heißt, mindestens eines trifft zu, aber es können auch beide zutreffen)

Weiter: x2=1+2=3 v x3=1-2= -1

  • Polynomdivision:

Wenn du nicht Faktorisieren kannst (z. B. f(x)=x^3+x+4), dann musst du die Polynomdivision anwenden: Hierbei wird letztendlich auch faktorisiert, allerdings werden kompliziertere Terme ausgeklammert (z.B. (x+3)), die man nicht sofort offensichtlich erkennt.

Bei der Polynomdivision wird zunächst eine Nullstelle zufällig ermittelt / erraten, dann wird das entsprechende Polynom gebildet, ist eine Nullstelle z. B. x=2, umgestellt x-2=0, dann könnte man diesen Term (x-2) ausklammern, wobei man sich der Einfachheit halber der schriftlichen Division bedient (vierte Klasse, oh je).

Das neu entstandene Polynom behandeltst du nun wieder mit einem der vier Schritte, wenns ganz blöd läuft, dann musst du noch eine Nullstelle raten, bei Funktionen 3. Grades (also maximal x^3) kommt dann aber eine quadratische Gleichung raus, die du mit der PQ-Formel lösen kannst.

Ich hoffe, ich konnte dir das Vorgehen anschaulich erklären und hoffe, dass du auch weiterhin Interesse an Mathe hast, ich kann dir versprechen, es wird noch deutlich spannender!! :)

LG DoktorMayo 

Kommentar von so000 ,

Vielen vielen dank und ja definitiv, sie haben es sehr gut erklärt, ein paar Sachen musste ich zwar 2 mal lesen,aber trotzdem gut erklärt 😁👍🏻 und ich liebe Mathe, ich lerne immer vor ,weil ich es so liebe ❤️ ich möchte das auch nächstes Jahr (11/Q1) als Leistungskurs 1 wählen,weil alles so spannend ist ❤️😊 vielen Dank nochmal 😊👍🏻

Kommentar von DoktorMayo ,

Mathe LK ist der einzig wahre LK :D am besten in Kombi mit Physik ;)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

ÄÄÄhhhh,Ikke mack dat immer so,ikke gib de Funktion in menen Graphikrechner en un de spuckt et aus.Dat it allet.

formeln,tu ikke sehen in Mathe-Formelbook,"Kuchling" ut en Booklade.

Kommentar von so000 ,

Hahaha Dankeschön 😂👍🏻 aber ich muss es ja selber ausrechen,damit ich es lerne ☺️

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