Frage von Spongifreak01, 23

Nullstellen dieser Funktion 3. Grades?

Wie bestimme ich die Nullstellen mathematisch bei dieser Funktion?
0= 1/3 x^3 + 0,5 x^2 -2
Eine Freundin erzählte mir was von Substitution. Aber was soll das sein ?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 23

f(x) = (1 / 3) * x ^ 3 + 0.5 * x ^ 2 - 2

f´(x) = x ^ 2 + x

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

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Startwert für x wählen

Marke 1:

z = x - f(x) / f´(x)

x = z

Wenn sich x und z zu stark von einander unterscheiden, dann springe zurück nach Marke 1

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Mit dem Startwert x = 1 erhält man nach 5 Iterationen den Wert x _ 1 = 1.43080953936036

Das ist die einzige reelle Nullstelle.

Antwort
von hypergerd, 23

Kein Lehrer (bis Klasse 12) stellt Aufgaben, wo nicht glatte Ergebnisse herauskommen, oder wo nicht Substitution angewendet werden kann!

Substitution funktioniert aber nur bei geradzahligen Exponenten, also wenn statt x^3 ein x^4 gestanden hätte. (oder andere leichte Sonderfälle)

Ende 12. Klasse kommen dann Näherungsverfahren wie Newton-V. oder Bisektion. Vor über 200 Jahren kamen die Cardanischen Formeln (auch noch Fallunterscheidungen).

Heute kennt man die exakten PQRST-Formeln (kein Schulstoff!) wie unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

x1= ((23-4 sqrt(33))^(1/3)+(23+4 sqrt(33))^(1/3)-1)/2

=1.43080953936035994164801346060562997270214431971...

x2 und x3 sind komplex -> hattet Ihr schon komplexe Zahlen?

Antwort
von mxbauer, 22

Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm kannst du dir die Lösung berechnen lassen, hier wird auch die Substitution Schritt für Schritt erklärt.

Gib die Parameter deiner Funktion bei der kubischen Gleichung ein, also umgeformt 1x^3 + 1,5x^2 + 0x - 6 = 0 und wähle "Lösen mit Erläuterungen".


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