Frage von EminaJubei, 92

Nullstellen dieser Funktion?

Hallo,

folgende Funktion ist gegeben: f(x)= ⅛(x-4)² (x+2)

Meine Frage ist nun wie man die Nullstelle/n berechnen oder vllt auch ablesen kann?

Bitte mit Lösungsweg.

Antwort
von Rubezahl2000, 44

Dein Funktionsterm ist ein Produkt aus mehreren Faktoren, die miteinander multipliziert werden.
Regel: Das Produkt von mehreren Faktoren ist 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist! (Satz vom Nullprodukt)

Also setz die einzelnen Faktoren =0 dann hast du deine Nullstellen :-)


Antwort
von atoemlein, 43

Bei so schönen Aufgaben, die schon in Faktoren zerlegt sind, kannst du jeden Faktor (Klammern) einzeln anschauen:
f(x) ist dann null, wenn mind. 1 Faktor 0 ist.

(x-4)=0  --> x1;2 = 4 (doppelte Nullstelle, wegen Quadrat)

(x+2)=0 --> x3 = -2

Der Achtel davor ist nicht relevant, kannst auch Pi oder Wurzel 337 nehmen.


Antwort
von gfntom, 56

Die hast du direkt in den Klammern angegeben.

x = 4 (doppelte Nullstelle) und x = - 2

Kommentar von EminaJubei ,

Danke :)

Kommentar von EminaJubei ,

Weißt du vllt auch was dann die Stammfunktion davon ist? 

Kommentar von gfntom ,

ja, weiß ich. ;)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Nullstellen ist ja inzwischen klar.
Für die Stammfunktion müsstest du die Funktion aber besser ausmultiplizieren und dann integrieren nach der Regel:

axⁿ  ---> a * xⁿ⁺¹ / (n + 1)

Dabei darf 1/8 nicht vergessen werden!
(Beim Ableiten übrigens auch nicht.)

Ableiten: axⁿ  ---> a * xⁿ⁻¹

Kommentar von Volens ,

Ableitungsformel mit Fehler:

Ableiten: axⁿ  ---> a * n * xⁿ⁻¹

(Zu schnell hochgeschickt.)

Kommentar von Volens ,

Beispiele: f(x) = 2x³                              Funktion
               f '(x) = 6x²                              Ableitung
               
                F(x) = 2 * x⁴ / 4  = x⁴ / 2        Stammfunktion

Du kannst jeden additiven Term für sich behandeln.


Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Du hast schon die Nullstellenform gegeben.

Nullstellenform: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) ... 

Daher kannst du einfach die Klammer null setzen, da der Satz des Nullprodukts gilt:

Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null wird.

x - 4 = 0 ⇔ x = 4
x + 2 = 0 ⇔ x = -2

An der Stelle x = 4 existiert sogar eine doppelte Nullstelle. ;)

Somit: x₁₋₂ = -2; x₃ = 4

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von EminaJubei ,

Die Stammfunktion von f(x) ?

Kommentar von EminaJubei ,

Und Ableitung davon

Kommentar von Willibergi ,

Da würde ich einfach ausmultiplizieren:

f(x) = 1/8 (x - 4)²*(x + 2) = 1/8 * x³ - 3/4 * x² + 4

f'(x) = 3/8 * x² - 3/2 * x

F(x) = 1/32 * x⁴ - 1/4 * x³ + 4x

Ableitung einer Polynomfunktion: "Hochzahl nach vorne und minus 1"
Stammfunktion einer Polynomfunktion: "Hochzahl plus 1 und Vorfaktor durch die neue Hochzahl teilen"

LG Willibergi

Kommentar von EminaJubei ,

Danke (: aber ich habe leider Probleme beim ausmultiplizieren.. ich komme nicht auf dasselbe wie du :/ kannst du das vllt Schritt für Schritt erklären? 

Ich muss doch rechnen 1/8*x und dann 1/8*(-4) und das zwei Mal da es ja in Klammern steht und eine hoch zwei dran steht.

Die letzte Klammer muss ich dann auch so rechnen oder? Also 1/8* x und 1/8*2

Kommentar von Willibergi ,

Guck her:

f(x) = 1/8 * (x - 4)² * (x + 2)                            | binomische Formel
      = 1/8 * (x² - 8x + 16) * (x + 2)                  | Klammern multiplizieren
      = 1/8 * (x³ - 8x² + 16x + 2x² - 16x + 32)  | Zusammenfassen
      = 1/8 * (x³ - 6x² + 32)                               | Ausmultiplizieren
      = 1/8 * x³ - 1/8 * 6x² + 1/8 * 32                | Zusammenfassen
      = 1/8 * x³ - 3/4 * x² + 4

Damit erhältst du das richtige ausmultiplizierte Produkt.

Ich muss doch rechnen 1/8*x und dann 1/8*(-4) und das zwei Mal da es ja in Klammern steht und eine hoch zwei dran steht.

Nein, zuerst musst du - wie oben gezeigt - die quadrierte Klammer gemäß der zweiten binomischen Formel auflösen.

Dein Rechenweg ist zwar möglich, aber komplizierter.

Ich denke, du machst das so:

f(x) = 1/8 * (x - 4)² * (x + 2)
      = 1/8 * (x - 4) * (x - 4) * (x + 2)

Du musst die 1/8 aber nicht mit beiden Klammern multiplizieren, da ein Produkt assoziativ ist: a * (b * c) = (a * b) * c = a * b * c

Mit beiden Klammerngliedern multiplizieren musst du nur, wenn in der Klammer eine Summe oder eine Differenz steht. ;)

LG Willibergi

Antwort
von minecrafter340, 56

F (x) null setzen und dann steht da 0= [die jetzige Formel ohne F (x)] und dann einfach klammern auflösen und ausmultiplizieren

Kommentar von minecrafter340 ,

und dann am Ende nach x auf der linken Seite umformen

Kommentar von EminaJubei ,

Genau beim ausklammern klappt es dann nicht mehr :/

Kommentar von minecrafter340 ,

Wo bleibst du hängen? Also genau

Kommentar von gfntom ,

Umständlicher geht es nicht, oder? Die Nullstellen kann man in dieser Form direkt ablesen!

Kommentar von minecrafter340 ,

Hab sowas schon lange nicht mehr gemacht. Daran hab ich mich noch erinnert aber ich wusste das da noch ein anderer Weg War aber der geht ja nicht überall und ich War Mr dannhier nicht sicher

Kommentar von gfntom ,

Der "andere Weg" ist: Ein Produkt ist genau dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Dafür braucht es kein Wissen um Formeln oder Methoden, nur etwas Hausverstand.

Kommentar von EminaJubei ,

Wenn ich so mache wie du komme ich auf: 

f(x)= 3/8x³-3/4

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Ausmultiplizieren ist viel zu umständlich und macht die Suche nach Nullstellen nur komplizierter!

Kommentar von EminaJubei ,

Und die Stammfunktion von der f(x) ? :/

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