Frage von Abi2018, 2

Nullstellen berechnen, aber wie nur?

Kann mir einer sagen, wie ich die Nullstelle des Funktionenschares bestimme. Ft(x)=(1/t)x^4-x^2+(t/4) , t>O, x E R

Antwort
von precursor, 1

F _ t (x) = (1 / t) * x ^ 4 - x ^ 2 + (t / 4) mit t > 0 und x Element der reellen Zahlen

Substitution -->

z = x ^ 2

F _ t (z) = (1 / t) * z ^ 2 - z + (t / 4)

(1 / t) * z ^ 2 - z + (t / 4) = 0 | : (1 / t)

z ^ 2 - t * z + (1 / 4) * t ^ 2 = 0

pq-Formel anwenden -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √((p / 2) ^ 2 - q)

p = - t

(p / 2) = - (1 / 2) * t

(p / 2) ^ 2 = (1 / 4) * t ^ 2

q = (1 / 4) * t ^ 2

z _ 1, 2 = - (- (1 / 2) * t) ∓ √( (1 / 4) * t ^ 2 - (1 / 4) * t ^ 2)

z _ 1, 2 = (1 / 2) * t ∓ √(0)

z _ 1 = (1 / 2) * t - 0

z _ 2 = (1 / 2) * t + 0

z _ 1 = (1 / 2) * t

z _ 2 = (1 / 2) * t

Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x _ 1 , 2 = ∓ √(z)

x _ 1 = - √((1 / 2) * t) = - √(t) / √(2)

x _ 2 = + √((1 / 2) * t) = + √(t) / √(2)

x _ 3 = - √((1 / 2) * t) = - √(t) / √(2)

x _ 4 = + √((1 / 2) * t) = + √(t) / √(2)

x _ 1 und x _ 3 sowie x _ 2 und x _ 4 sind sogenannte mehrfache Nullstellen, genauer gesagt doppelte Nullstellen.

Antwort
von Wechselfreund, 1

Wurzel aus t/2 und minus Wurzel aus t/2

(gleich 0 setzen, x² = z substituieren)

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