Frage von Steffi2206, 104

Nullstellen ablesen, aber wie?

Hallo :)

Ich bereite mich gerade für die 12. Klasse der BOS vor. Leider hänge ich an einer Aufgabe fest und komme absolut nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen?! :)

Gegeben: f(x)= (5-2x) * (1/4x - 1/8)

Aufgabe: Bestimmen Sie den Scheitel und die Nullstellen der Parabel von f.

(Wie man den Scheitel bestimmt weiß ich)

Laut Lösung sollte man die Nullstellen ablesen können. (x1= 2,5 und x2=0,5)

Wie komme ich auf die beiden Nullstellen? Eigentlich habe ich das bestimmen der Nullstellen verstanden, aber in diesem Fall komme ich einfach nicht weiter.

Vielen Dank :)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 36

Dies ist einfach mit dem Satz des Nullprodukts zu lösen:

"Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null wird."

Ist f(x) = (5 - 2x) * (1/4 x - 1/8), so hast du zwei Faktoren.

Mindestens einer der beiden Faktoren muss null sein, damit das Produkt null ist, denn eine Multiplikation mit 0 ergibt immer null.

Also musst du beide Faktoren null setzen, um die Nullstellen zu erhalten.

0 = 5 - 2x → x = 2,5

0 = 1/4 x - 1/8 → x = 2

⇒ x₁ = 2; x₂ = 2,5

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von Steffi2206 ,

Du konntest mir schon helfen, vielen lieben Dank. :)

Kommentar von Willibergi ,

Das freut mich, gern geschehen! ;)

LG Willibergi

PS: x₂ muss natürlich 1/2 sein. ^^

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 54

Hallo,

Du hast zwei Terme, die Faktoren eines Produktes sind, nämlich 
5-2x und 0,25x-0,125

Ein Produkt ergibt immer dann Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.

Entweder muß also 5-2x Null ergeben oder 0,25x-0,125.

In beiden Fällen wird das Produkt Null.

So sind die Nullstellen der Funktion die beiden Gleichungen
2x=5 und 0,25x=0,125, also x=2,5 oder x=0,5.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Steffi2206 ,

Ah super vielen Dank!!

Aber wann weiß ich denn dass ich die beide Gleichungen in dieser Form schreiben muss? Gibt es da irgendeinen Trick dies zu erkennen?

Ich dachte erst ich kann die Nullstellen über die Form a*(x -x1) * (x-x2) lösen. Hat aber leider nicht geklappt.

Wo liegt denn der Unterschied zu meiner Funktion mit der gerade erwähnten Form? Warum konnte ich die Nullstellen meine Funktion nicht über die Form von oben ablesen? 

Danke!!!

Kommentar von Willibergi ,

"Ich dachte erst ich kann die Nullstellen über die Form a*(x -x1) * (x-x2) lösen. Hat aber leider nicht geklappt."

Was hat denn nicht geklappt?

Drei Faktoren, also drei Lösungen für x.

Da der Öffnungsfaktor der Parabel nicht null sein kann (sonst wäre es eine lineare Funktion), hast du zwei Lösungen - die beiden Nullstellen x1 und x2. ;)

LG Willibergi

Kommentar von Geograph ,

f(x)= (5-2x) * (1/4x - 1/8)   

f(x) = { -2 * (-2,5 + x) }  * { 1/4 * ( x - 1/2) }

f(x) = ( -2 * 1/4) * (x - 2,5) * (x - 0,5)

f(x) =        a        * (x - x1) * (x - x2)

So bekommst Du die gewünschte Form

Kommentar von Steffi2206 ,

Ich dachte, ich könne die Nullstellen über diese Form einfach ablesen.
Hab aber meinen Fehler gerade selbst erkannt.
Vielen, vielen Dank. :)

Kommentar von Steffi2206 ,

Danke :)

Antwort
von Peter42, 46

bei Funktionen in dieser Form erinnert man sich an den Spruch "ein Produkt ist Null wenn einer der Faktoren gleich Null ist" - und macht das, einmal für die erste Klammer, einmal für die zweite. Und damit hast du die Nullstellen - schneller als z.B. der Ansatz über die pq-Formel.

Antwort
von DeeDee07, 38

Zunächst solltest du die Klammern multiplizieren, dann hast du die Funktion in der Form f(x)=ax²+bx+c. Für diese kannst du dann mit der Mitternachtsformel die Nullstelle(n) berechnen.

Kommentar von Willy1729 ,

Wieso denn ausmultiplizieren, wenn Du schon eine Form hast, in der sich die Nullstellen ohne große Rechnerei ablesen lassen?

Ihr dürft in der Mathematik nicht immer so schematisch denken.

Kommentar von DeeDee07 ,

Stimmt, das ist in dem Fall wohl schneller.

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