Frage von Gulchen, 66

Nullstelle von dieser Gleichung berechnen?

Kann jemand mir Lösungsansätze geben? Hab es schon mit Polynomdivison versucht und beim auflösen bin ich gescheitert.

f(x) = 3x^(4) - 6x^(2) - 24

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 28

Die Gleichung 3x^4 - 6x² - 24 = 0 ist eine sog. biquadratische Gleichung, da in ihr x² und (x²)² vorkommen. Solche Gleichungen kannst Du gut mit der Substitution lösen: Du ersetzt/substituierst x² durch z und erhältst

3z² - 6z - 24 = 0

Diese Gleichung kannst Du z.B. mit pq-Formel lösen und erhältst die Lösungen für z (-2 und 4). Anschließend z wieder durch x² ersetzen, beide Gleichungen nach x auflösen (soweit möglich).

Dieses Verfahren geht auch bei x³ und x^6, x^4 und x^8...

Kommentar von Gulchen ,

Hab Substitution auch gerade in meinem Heft gefunden und werde damit dann rechnen. Danke!!

Kommentar von KDWalther ,

Jaja, manchmal lohnt es sich eben doch, mal nachzusehen, was man in der Schule so hatte :-)

Kommentar von Gulchen ,

Jaa haha, ist auch für die schule :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 15

Es hätte auch mit Polybomdivision geklappt. Nur muss man dann zweimal ran, und man muss es richtig machen. Das heißt, du lässt Lücken für die Potenzen, die fehlen, denn beim Zurückrechnen werden sie mit Sicherheit aufgefüllt.

Wegen Lösung x₁ = 2 ist der erste Linearfaktor:  x - 2

 (3x⁴           - 6x²          - 24) : (x - 2)  =  3x³ + 6x² + 6x + 12
-(3x⁴ - 6x³)
_________
          6x³  -  6x²
        -(6x³ - 12x²)
        __________
                   6x²
                 -(6x² -12x)
                ____________
                          12x - 24
                          12x - 24
                         _______
                                   0

Aus dieser Gleichung bekommt man durch Probieren: x₂ = -2   LF:  x + 2

 (3x³ + 6x² + 6x + 12) : (x + 2)  =  3x² + 6
-(3x² + 6x²)
____________
                   6x + 12
                   6x + 12
                   ______
                          0

Die letzten beiden Lösungen sind dann zwar nicht reell; aber darauf kam es hier nicht an. Häufig gibt es auch vier reelle Lsöungen, und wenn einem die Substitution nicht einfällt, geht es mit zweimaliger Polynomdivision. Und wie man das mit den Lücken hinbekommt, hast du ja gerade gesehen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 19

substitution

3u²-6u-24=0

u²-2u-8=0

u(1,2) = 1 ± wurzel(1+8)

u1 = 4 also x1 = 2 und x2 = -2

u2 = -2 keine wieteren Lösungen

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 18

Hierfür gibt es mehrere Lösungswege.

Eine davon wäre Substitution, allerdings übersehen hier viele Leute eine viel einfachere Möglichkeit: Den Satz des Nullprodukts.

f(x) = 3x⁴ - 6x² - 24

Nullstellen:

0 = 3x⁴ - 6x² - 24
   = x⁴ - 2x² - 8
   = (x + 2)(x - 2)(x² + 2)

Satz des Nullprodukts:

"Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer der Faktoren null wird."

Also:

x₁ + 2 = 0 => x₁ = -2
x₂ - 2 = 0 => x₂ = 2
x₃² + 2 = 0 => x₃ = √-2

x₁₋₂ = ±2

Die Funktion hat die Nullstellen -2 und 2.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von LGBTsupport, 29

Die nullstellen sind -2 und 2

Kommentar von Gulchen ,

Schafft man das mit nullsetzen und nach x auflösen?

Kommentar von LGBTsupport ,

Ich hab einen Taschenrechner, der das allein kann :D aber theoretisch müsstest du es auch mit nullsetzen hinbekommen

Antwort
von mahonefever, 27

Du kannst es ganz einfach in deinen Taschenrechner eingeben. 

Casio f-CG 20 grafiktaschenrechner. 

-> gibt doppelte Nullstelle 0 !

Wenn man den Graphen zeichnet :

Gibt der Taschenrexher : x1 -2 / 0 

x2 2 / 0

Antwort
von Katalase, 37

Nein nein nein; du musst das alles gleich null setzten und dann erst auflösen. Ich glaub da kommt pi raus!

Kommentar von Willibergi ,

Worauf beruht diese Annahme? ^^

LG Willibergi

Antwort
von Schlamassel, 31

0=3x^...
Kann sein, dass mehrere Lösungen rauskommen.

LG Schlamassel

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