Frage von Juli593, 82

Nullstelle einer Taylorentwicklung , formel dafür finden?

Ich zerbreche mir seit einiger Zeit den Kopf daran:

Um eine Gleichung f(x) = 0 zu lösen, gehen wir nun analog zum Newton-Verfahren wie folgt vor: Wir starten bei x_0 = 0. Wir berechnen dann in jedem x_n die Taylorentwicklung 2. Ordnung f_2(x) (Parabel) mit x_n als Entwicklungspunkt und berechnen deren beiden Nullstellen. Die Nullstelle, welche weniger von der letzten Iterierten (also im ersten Fall von Null) abweicht, wird als neue Näherung genommen. Hierzu berechnen wir 4 Iterationen. Um den Fall abzufangen, dass wir Parabeln ohne reelle Nullstellen erhalten, bauen wir als Sicherheitsmechanismus noch ein, dass Sie in diesem Fall statt der obigen Iteration einen Newtonschritt machen (Tangentenverfahren).

a) Wie lautet die Formel zur Berechnung von x_n+1, also der Nullstelle(n) der Taylorentwicklung 2. Ordnung?

Mir ist bewusst wie das Newtonverfahren ungefähr abläuft, aber wenn ich keine Gleichung für f(x) habe kann ich doch keine Gleichung für die Nullstelle aufstellen da ich ja dann in meiner gleichung einfach nur f(x_n) f ' (x_n) und f ' ' (x_n) stehen hab und das nicht auflösen kann, oder?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 16

§1: Newton-V. braucht man nur, wenn man Formeln nicht umstellen kann!

§2: Die Taylor-Summe ist bereits eine Näherungsformel für eine andere Funktion. Ein Näherungsverfahren mit einer Näherungsformel kann sehr ungenau werden... (doppelt ungenau)

§3: Wenn Du nur 2. Ordnung arbeitest, kommt doch oft nur ein Polynom 2. Grades heraus, was mit der primitiven pq-Formel berechnet werden kann.

Selbst für 3. & 4. Grades kennt man explizite Formeln.

Oder brauchst Du das für einen Lehrer und sollst einfach nur in die Newton-Iterationsformel einsetzen:

x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f '(x[n])

wenn nun Taylor f(x) = a*x+b*x²/c...

einfach in erstere einsetzen... fertig.

Wie einfach diese universelle Newton-Iteration ist (selbst für Leute, die keine Ableitung kennen) zeigt der Iterationsrechner per numerischer Ableitung:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

im Beispiel 118:

einfach die 0-Funktion unter Fx: eintragen

und den Startwert (geschätztes Ergebnis) für aB[0] bei Init: eingeben.

Nach "Berechnungen starten" endet die Iteration, wenn gewünschte Genauigkeit erreicht.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Das meiste von deinen Ausführungen verstehe ich nicht, ich verstehe Sachen eher wenn ich die konkrete Rechnung vor mir sehe.

Ein paar Sachen kann ich dir jedoch sagen -->

1.) Eine einfache Formel wirst du eventuell nicht finden, aber einen Algorithmus kannst du finden.

2.) Eine abgebrochene endliche Taylorreihenentwicklung ist nichts anderes als ein Polynom.

3.) Wenn x _ n der Entwicklungspunkt ist, dann lautet die Taylorreihe -->

f(x) = a _ 0 + a _ 1 * (x - x _ n) + a _ 2 * (x - x _ n) ^ 2 + .... + a _ m * (x - x _ n) ^ m

a _ Index sind die Taylorkoeffizienten

Das musst du auf die folgende Form bringen -->

g(x) = b _ 0 + b _ 1 * x  + b _ 2 * x ^ 2 + ... + b _ m * x ^ m

Das kannst du auf diese Art und Weise tun -->

http://www.mathe-online.at/skripten/var/variable_binomischer_lehrsatz_binomialko...

http://volkerbehrens.de/daten/pascal/Aufloesen%20von%20Binomen%20mit%20Hilfe%20d...

Alternativ kannst du von f(x) (siehe oben) auch m + 1 willkürlich ausgewählte Wertepaare (x|y) generieren, und dann g(x) (siehe oben) durch die Newtoninterpolation berechnen, dann erhältst du g(x)

4.) In einem Buch von Gisela-Engeln Müllges und Fritz Reutter findest du einen Algorithmus, der die reellen und komplexen Nullstellen von jedem reellen Polynom berechnen kann, dieses Verfahren wird Verfahren von Muller genannt.

Leider weiß ich nicht mehr ganz genau welches Buch es war, aber ich glaube eines von diesen Büchern -->

http://opus.bibliothek.fh-aachen.de/frontdoor/index/index/docId/815

oder

http://www.booklooker.de/B%C3%BCcher/Engeln-M%C3%BCllges+Formelsammlung-zur-nume...

Kann auch ein anderes Buch gewesen sein, auf jeden Fall ein Buch von Gisela-Engeln Müllges und / oder Fritz Reutter !!

Jede vernünftige Leihbücherei in einer großen Stadt sollte diese Bücher jedoch haben, war früher jedenfalls so, so dass du dir sie normalerweise auch ausleihen können müsstest, ohne sie kaufen zu müssen.

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