Frage von StefanBrooks, 79

Nullstelle berechnen bei folgender Funktion f(x)=x^3-x+1?

Hallo!

Wie kann ich mir ohne Technologieeinsatz (ohne Mathcad etc.) die Nullstelle ausrechnen (muss nicht genau sein). Mein Ansatz wäre eine Wartetabelle...

Meine Frage wäre... wie man weißt zwischen welchem Intervall sich die Nullstelle befindet?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Khoonbish, 18

Kannst du nicht einfach bei der Wertetabelle gucken, wo sich die Vorzeichen ändern und wenn du das weißt, machst du die Schrittweite zwischen den x-Werten immer feiner, um den Wert einzugrenzen?

Kommentar von StefanBrooks ,

wie meinst du das jetzt?

Kommentar von Khoonbish ,

Wenn du deine Wertetabelle mit x und f(x) Werten hast, dann wirst du sehen, dass die Funktion zwischen x = -2 und x = -1 das Vorzeichen wechselt, denn

f(-2) = -5 und f(-1) = 1.

Das bedeutet, im Intervall [-2,-1] muss ja ne Nullstelle sein, da die Funktion die x-Achse geschnitten haben muss (da sie stetig ist).

Nun könntest du ja das Intervall immer kleiner werden lassen, damit du den Wert mit hinreichender Genauigkeit bekommst.

z.b. [-1.9, -1,1] und dann [-1.8, -1.2] usw.

Kommentar von StefanBrooks ,

Danke!!! Danke!!! Für deine Antwort :).

Hast mir sehr weiter geholfen!!!! 

Nur verstehe ich noch nicht zu 100% was du mit "Das Vorzeichen wechselt" meinst.

Kommentar von Khoonbish ,

f(-2) = -5  (da ist ein Minuszeichen also negatives Vorzeichen),  f(-1) = 1  (positives Vorzeichen).

Wenn die x-Achse geschnitten wird, dann muss die Funktion ja entweder vom negativen in den positiven oder vom positiven in den negativen Bereich wandern. Das meine ich damit.

Kommentar von StefanBrooks ,

Okey. Aber ändert sich das Vorzeichen nicht öfters?

Kommentar von Khoonbish ,

Guck dir den Verlauf der Funktion hier an: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-x+%2B1

Die y-Werte sind nachdem die Nullstelle durchquert wurde immer positiv. Links von der Nullstelle sind sie negativ. Einmal passiert das in diesem Beispiel also.

Kommentar von StefanBrooks ,

AH!! Jetzt verstehe ich!! Vielen Dank! :)

Und wenn es z.B eine gerade Funktion ist?

Kommentar von Khoonbish ,

Da müsstest du mir jetzt ein Beispiel geben, sonst kann ich dir da allgemein nicht viel zu sagen, da die maximale Anzahl der Nullstellen auch vom Grad (höchster Exponent ) der Funktion abhängt. Kann sein, dass die keine Nullstellen haben, kann aber auch sein, dass sie dem Grad entsprechend viele Nullstellen haben

Kommentar von StefanBrooks ,

Okey! :)

Ja stimmt....

Auf jeden Fall kann ich hier bei einem solchem Beispiel nicht einfach auf x umformen...oder?

Z.B bei diesem Beispiel da sind zwei Nullstellen... f(x)=x^2 -x -2

Kommentar von Khoonbish ,

Nein kannst du nicht. Bei Funktionen 3. Grades muss man zumeist erst eine Nullstelle raten und dann eine Polynomdivision machen, sodass man eine quadratische Funktion hat, von der man dann die Nullstelle berechnen kann.

Bei f(x)=x^2 -x -2 kannst du das analytisch mit pq-Formel berechnen

Kommentar von StefanBrooks ,

Okey.

Bei f(x)=x^2 -x -2 gibt es also 2 Nullstellen!! Und wenn ich mich nicht irre ist eine zwischen dem Intervall [1, 2] oder? Nur das ich mir sicher sein kann, dass ich verstehe...

Und wenn sich das nächste mal wieder das Vorzeichen ändert muss wieder eine Nullstelle dazwischen sein?

Antwort
von Peter42, 73

eine Wertetabelle ist natürlich eine ganz hilfreiche Strategie. Falls die Funktion (so wie im Beispiel) es hergibt, könnte man auch zunächst über die Ableitungen untersuchen/abschätzen, wo die Extremstellen liegen, und die Wendestellen. Hat diese erst mal gefunden, dann hat man auch schnell ein Gefühl dafür, wo in etwa die Nullstellen liegen müssten (eine gibt's garantiert, vielleicht aber auch 2 oder 3).

Kommentar von StefanBrooks ,

Danke für deine schnelle Antwort :).

Leider ist das nicht so einfach... ohne Technologieeinsatz .... da müsste man ja ziemlich viel Herumprobieren. 

Kommentar von Peter42 ,

ach was - eine simple Funktion dritter Ordnung ist doch ruckzuck analytisch abgeleitet. Dafür braucht man keinen "Technologieeinsatz" in Form irgendwelcher Näherungsverfahren. Es geht ja auch nicht darum, aus diesen die exakten(!) Extrema usw. zu berechnen, sondern auch hierfür reicht ein "ungefähr" aus.

Kommentar von StefanBrooks ,

Ja.. aber hab leider keinen Ansatz dafür. 

Was ich einfach ganz verstehe, ist wie ich weiß wo ich anfangen soll, um mich an die Nullstelle heranzuarbeiten. 

Kommentar von StefanBrooks ,

* Was ich nicht ganz verstehe ist, wie ich weiß wo ich anfangen soll, um mich an die Nullstelle heranzuarbeiten.

Kommentar von Peter42 ,

x^3 - x +1 hat als erste Ableitung 3x^2 - 1 und als zweite Ableitung 6x. Der Wendepunkt liegt also bei x = 0  - den Funktionswert dafür kannst du easy ausrechnen (= 1 - ein hübscher Punkt für die Wertetabelle). So, und die Extrema liegen bei +/- Wurzel (1/3).- Funktionswerte lassen sich ebenfalls abschätzen - je nach Vorzeichen dieser weiss man dann doch, wo etwa die potentiellen Nullstellen zu suchen sind - das Ausgangsgebilde ist eine Funktion 3. Ordnung, irgendwo im Koordinatensystem verschoben und kann daher nicht allzu "wild" verteilte Nullstellen haben.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 32

Hallo,

da gibt es noch die reduzierte Cardanische Formel für Gleichungen der Form x³+px+q=0

p=-1, q=1

Eine Nullstelle liegt dann bei ³√[-q/2+√(q²/4+p³/27)]+³√[-q/2-√(q²/4+p³/27)]

Wenn Du für p die -1 und für q die 1 einsetzt, kommst Du auf -1,324717957.

Das ist übrigens die einzige reelle Nullstelle, die beiden anderen sind imaginär.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von StefanBrooks ,

Danke für deine Antwort... ich darf leider nur mit einer Wartetabelle arbeiten.. :/

Kommentar von Willy1729 ,

Das habe ich befürchtet. Aber damit kommst Du auch ans Ziel.

Kommentar von StefanBrooks ,

Okey.

Aber wie weißt ich bei welchen Werten die Nullstelle dazwischen liegt? 

Kommentar von Willy1729 ,

Zwischen denen, bei denen sich das Vorzeichen des Funktionswertes ändert.

Antwort
von iokii, 39

Versuch's mal mit dem Newtonverfahren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Kommentar von StefanBrooks ,

Hallo! Danke für deine Antwort.

Leider dürfen wir solche Verfahren nicht verwenden... da ich gerade erstmal in die 2. Oberstufe einer HTL besuche... 

Wir sollen nur ungefähr die Nullstelle / Nullstellen berechnen.

Und da ich nich einfach umformen kann und y auf Null setzen kann, fällt mir nichts anderes ein, als eine Wartetabelle aufzustellen. 

Kommentar von Willy1729 ,

In diesem Fall ist die Wertetabelle das einzige, was Dir mit solchen begrenzten Möglichkeiten zur Verfügung steht. Raten kannst Du in diesem Fall vergessen.

Kommentar von StefanBrooks ,

Mit raten meine ich z.B bei X den Wert 1 anzunehmen und dann y auszurechnen und das mit verschiedenen Werten zu versuchen.

Antwort
von Mrbes, 36

Mach x^3-×+1=0

Und löse nach x auf, dann hast du die nullstellen :))

Kommentar von StefanBrooks ,

Leider funktioniert es bei diesem Beispiel nicht so... :/

Kommentar von Mrbes ,

ah ja ich sehs warte ich suche schnell nach einer anderen Lösung ...

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