Noch eine mathematische Frage,bei der ich Hilfe brauch?

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3 Antworten

Es lässt sich Zeigen, dass Körper Nullteiler frei sein müssen, da findet man genügen Herleitungen über Google.

Wenn n nun keine Primzahl ist dann ist der Restklassenring nicht Nullteiler frei.

Ein Beispiel dazu:

n = 6

3*2 = 0

im allgemeinen Fall kannst du rechnen:

n = ab diese Multiplikation ergibt im Restklassenring n  0

man kann somit sagen: b = n/a

Du kannst also für jedes a, welches ein echter Teiler von n ist, ein b finden welches ein Nullteiler ist.

Es gibt somit einen Nullteiler und der Restklassenring kann daher kein Körper sein.

Wenn n hingegen 5 ist, kannst du keine Zahlenkombination finden welche 0 ergibt, außer einer der Faktoren selbst ist 0.

Das siehst du auch hier:

b = n/a

die einzigen Teiler sind 1 und n selbst.

wenn wir das jetzt in n = ab einsetzen kommen wir auf:

  • n = a*n
  • n = a*1

Wenn du beide Gleichungen jetzt im Restklassenring betrachtest steht da bei beidem 0 = a.

Daraus ist direkt erkennbar, dass der Restklassenring Nullteilerfrei ist wenn n eine Primzahl ist und somit auch ein Körper ist.

Die anderen Notwendigkeiten für einen Körper musst du natürlich noch bestimmen, aber das ist der Knackpunkt.

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1. Wenn n keine Primzahl ist, gibt es a b aus Z(n), so dass a*b = 0

2. Überprüfe die Körpereigenschaften von Z(n)

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Kommentar von YStoll
23.05.2016, 21:45

Ergänzung: (...) gibt es a, b aus Z(n) mit a != 0 != b, so dass a * b = 0

0

Es hilft sehr häufig, das Ganze mit der nötigen Abstraktion zu betrachten, dann wird sehr viel auf einmal klar.

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und m ein Ideal. Dann gilt:

R/m ist ein Körper genau dann, wenn m ein maximales Ideal ist.

Warum ergibt dieser Satz Sinn? Nun, ein Ring ist ein Körper genau dann, wenn er nur die beiden trivialen Ideale enthält, nämlich 0 und R.

Die Ideale im Faktorring R/m sind aber genau die Ideale I, die m enthalten. Da m maximal ist, existiert kein solches. Umgekehrt, wenn m nicht maximal ist, gibt es ein Ideal m ⊊ I ⊊ R, und I ist ein nichttriviales Ideal in R/m. Also besitzt R/m genau dann nur die trivialen Ideale m (=0) und R, wenn m maximal ist. Daraus wissen wir, dass R/m genau dann ein Körper ist, wenn m maximal ist.

Da wir das jetzt wissen, schauen wir uns die Maximalideale in Z an.

Wir sehen schnell, dass Z ein Hauptidealring ist, also dass für jedes Ideal I eine Zahl n existiert, sodass I = nZ. Ist n keine Primzahl, so besitzt es nichttriviale Faktoren a und b, und I = nZ = (ab)Z = aZ bZ. Wir bekommen nZ ⊊ aZ und nZ ⊊ bZ, nZ kann also nicht maximal sein. Umgekehrt, wenn n eine Primzahl ist und nZ nicht maximal, also nZ ⊊ aZ, dann existiert ein z ≠ 1, sodass n = a z, was ein Widerspruch wäre.

Wir wissen jetzt also folgendes: 

1. R/m ist ein Körper genau dann wenn m ein Maximalideal ist,

2. Die Maximalideale in Z sind genau die pZ.

Daraus folgern wir schließlich:

Z/pZ ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.

LG

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