n!/(n^n) läuft gegen Null, aber Warum?

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3 Antworten

Ich würde das so ansetzen:

n! = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(n-1))

jetzt aus jedem Faktor eine n rausziehen:

n!=n*n(1-1/n)*n(1-2/n)...n*(1/n)

Wir habe gerade n^(n-1) n rausgezogen zusammen mit dem ersten n haben wir also stehen:

n!=n*n^(n-1)*(1-1/n)*(1-2/n)...(1/n) = n^n*(1-1/n)*...*(1/n)

-> n!/n^n = (n^n*(1-1/n)...(1/n))/n^n = (1-1/n)*(1-2/n)*...*(1/n)

1/n geht für n gegen Unendlich gegen 0 -> n!/n^n für n gegen Unendlich geht auch gegen 0.

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Hier findest du Abschätzungsformeln für die Fakultät:

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel

Kannst du voraussetzen, dass exp(x) für x -> undendlich schneller wächst als jede Potenz von x?

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Du musst zeigen, dass es monoton fallend ist, und 0 die größte untere Schranke ist.

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