Frage von EinGFNetNutzer, 45

Nicht-euklidische Geometrie?

Hallo,
Ich habe hier auf der Plattform kürzlich eine Reihe von Fragen zur sog. "nicht-euklidischen Geometrie" gelesen.

Es ging darum, dass ein Dreieck, wenn es auf der Oberfläche einer Kugel konstruiert wird, nicht zwangsläufig den Innenwinkelsatz von Dreiecken erfüllen muss (α+β+γ=180⁰). Ich habe dazu jetzt eine Reihe von Fragen, die mir ziemlich spontan in den Sinn kamen, ich hoffe sie sind nicht zu offensichtlich, zugegebener Maßen hab ich nicht so lange darüber nachgedacht...

Also zuerst, ein Dreieck ist, da es ja eine Fläche ist, ein Objekt des 2-Dimensionalen Raumes. Wenn es nun auf einer Kugeloberfläche konstruiert wird, ist es dann ebenso wie besagte Kugel Objekt des 3-Dimensionalen Raumes? Es besitzt zwar immer noch nur Länge und Breite, aber dennoch besitzt es ja eine Art Wölbung, eben wie die Kugel.

Zweitens, kann man es dann eigentlich noch als Dreieck bezeichnen? Würde man es wieder auf eine 2-Dimensionalen Fläche konstruieren, müsste es, um die gleichen Winkelgrößen wie das „3D-Original“ zu haben, nicht „krumme/verbogene“ Seiten haben? Außerdem ist ein Dreieck doch eine Fläche, und Flächen haben im 3-Dimensionalem Raum doch eigentlich gar nichts verloren...

Und zuletzt: gibt es einen Innenwinkelsatz für diese sphärischen Dreiecke? Unabhängig vom Radius ist doch die „Wölbung“ einer Kugel immer die gleiche, also müssten die Winkel doch immer gleich „verzerrt“ werden, zumindest wenn die Größen von Dreieck und Radius im gleichen Verhältnis zueinander stehen? Und wie verhält sich das, wenn man eine Fläche (ich denke nicht, dass es immer nur Dreiecke sein müssen) auf eine andere gewölbte Oberfläche zeichnet?

Ich glaube das war für eine Frage eine ganze Menge, mir würde es vollkommen reichen, wenn jemand von euch nur eine dieser Fragen beantwortet, vielen Dank für die einhergehende Mühe schonmal im Voraus!

In diesem Sinne, vielen Dank für eure Aufmerksamkeit,

Liebe Grüße ^^

Antwort
von SirMahoney, 12

Hallo ich bin jetzt kein Mathematiker an der Uni, versuche aber trotzdem mit besten Gewissen auf deine Fragen ein zu gehen:

1) Ist das Objekt dann 3 dimensional?
Eigentlich nicht, da die Wölbung nichts daran ändert, dass wir hier eine Fläche betrachten. - Es wäre aber sicherlich interessant, auf dieser Grundlage eine 3 dimensionale Geometrie zu entwerfen in der, der dritte Freiheitsgrad das Maß der Wölbung in einem Punkt ist. Vielleicht gibt es auch schon so etwas, aber das weiß ich leider nicht.

2) Rückprojektion krumme und verbogene Linien?
Die Rückprojektion kann nicht winkelerhaltend sein - denke nur daran, dass ja in einer euklidischen Geometrie die Innenwinkelsumme immer gültig sein muss. Also hat man im Zweifelsfall kein Dreieck.

Im Übrigen ist die Projektion von einer Kugelfläche auf eine Ebene ein großes Problem, mit dem sich Kartographen auseinander setzten. - So können Karten nur in einem bestimmten Maße masstabsgetreu sein.

Auf der anderen Seite, kannst du Abbildungen finden, die eine Projektion in ein anderes Dreieck ermöglichen. Bsp.: Du pinnst auf dem Globus eine Nadel auf Berlin, Hamburg und München. - Das spärische Dreieck überträgst du, indem du auf einer Karte Berlin, Hamburg und München Markierst und verbindest. - Dann verlaufen aber die Strecken nicht unbedingt durch die selben Ortschaften

3) Es gibt zunächst mehr als nur eine Alternative zur euklidischen Geometrie. Gibt es einen Innenwinkelsatz für Kugeln? Auch nicht, denn wenn du dir ein sehr kleines Dreieck auf einer Kugel zeichnest beträgt die Innenwinkelsumme fast 180°.

VG

Kommentar von EinGFNetNutzer ,

Vielen Dank für die ausführliche Antwort ^^

Kommentar von SirMahoney ,

Sehr gerne :-)

Antwort
von Schachpapa, 13

Deine Fragen werden hier ausführlich behandelt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck

Und ja: im Raum gibt es durchaus (Ober)Flächen:

(Wikipedia) Eine Fläche im anschaulichen Sinn ist eine zweidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, beispielsweise eine Ebene, eine zweidimensionale geometrische Figur oder die Begrenzungsfläche eines dreidimensionalen Körpers. Eine Fläche kann somit sowohl flach als auch gekrümmt sein.

Kommentar von Schachpapa ,

Irgendwo habe ich mal gelesen, dass Mathematik oft deshalb als schwierig empfunden wird, weil die Fachbegriffe im täglichen Leben oft gar keine oder eine andere Bedeutung haben (gar keine: distributiv, Homomorphismus, Supremum etc.; andere: Menge, Ring, Körper, rational, Eigenwert).

Dabei kommen dann auch vermeintlich unsinnige Dinge wie "flache Fläche" vs. "gekrümmte Fläche" oder "eine Gerade ist ein Kurve (!) mit konstanter Steigung" heraus.

Das muss man wohl einfach so hinnehmen ;-)

Kommentar von EinGFNetNutzer ,

Ja; dass ich nicht darauf gekommen bin, selber mal bei Wikipedia zu suchen, ist mir ehrlich gesagt etwas peinlich - entschuldigen Sie bitte 😂

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 9

Also zuerst, ein Dreieck ist, da es ja eine Fläche ist, ein Objekt des 2-Dimensionalen Raumes.

Eine Oberfläche ist ja auch etwas Zweidimensionales. Streng genommen ist es kein (Vektor-)Raum mehr, sondern eine sogenannte Mannigfaltigkeit, eine Verallgemeinerung der Fläche. Die Kugel ist schon dreidimensional, aber nicht deren Oberfläche, die zwar im Sinne der Einbettung in einen dreidimensionalen Raum eine Wölbung besitzt, aber bei der nichteuklidischen Geometrie geht es darum genau gerade nicht.

Die Erkenntnis, dass Krümmung sich als innere Eigenschaft einer Fläche respektive Mannigfaltigkeit ohne Bezug auf einen Einbettungsraum beschreiben lässt, geht auf C.F. Gauß zurück, der sowohl Mathematiker als auch Geometer war. Er war so stolz darauf, dass er sie Theorema Egregium nannte.

Kommen wir auf die dreidimensionale Wölbung zurück. Eine solche hat auch eine Zylinderfläche. Im Unterschied zu einer Kugel ist sie aber innergeometrisch flach. Ich kann die Mantelfläche aufschneiden und in einer Ebene ausrollen, ohne sie zu verzerren, und genau das ist bei einer Kugeloberfläche oder dem Teil einer solchen nicht möglich, Die Ränder würden sich dehnen, wie man dies auch an Weltkarten eindrucksvoll sehen kann, wenn man sie mit einem Globus vergleicht. Ebenso wenig möglich ist dies bei der Fläche einer Tuba; hier tritt das umgekehrte Problem auf.

Eine solche Krümmung stellt man sich, um nicht auf die falsche Fährte zu kommen, am besten lieber wie einen Gitterfehler, etwa in einem Kristall, vor, der dazu führt, dass ein "Rund"weg sich nicht schließt.

Zweitens, kann man es dann eigentlich noch als Dreieck bezeichnen? Würde man es wieder auf eine 2-Dimensionalen Fläche konstruieren, müsste es, um die gleichen Winkelgrößen wie das „3D-Original“ zu haben, nicht „krumme/verbogene“ Seiten haben?

Ja, aber eine flache Mannigfaltigkeit ist eben keine gekrümmte.  Es geht nicht darum, dass irgendwelche wieauchimmer gebogenen Linien  zur Begrenzung von Dreiecken dienen "dürfen", sondern dass dies sogenannte geodätische Linien sein müssen, d.h. die im Sinne der inneren Geometrie der Mannigfaltigkeit geradestmöglichen Linien. Auf einer Kugeloberfläche sind dies Großkreise, im materiefreien Raum Lichtwege und in der Raumzeit die sog. Weltlinien von Koordinatensystemen, die zumindest lokal als Inertialsysteme bezeichnet werden können - etwa die ISS.

Und zuletzt: gibt es einen Innenwinkelsatz für diese sphärischen Dreiecke? Unabhängig vom Radius ist doch die „Wölbung“ einer Kugel immer die gleiche,...

Nicht aber im Verhältnis zur Größe des Dreiecks. Der Innensummenwinkel hängt von der Größe des Dreiecks ab, wie man aus dem Alltag kennt. Wir fahren "geradeaus", bezeichnen US-Highways als "schnurgerade", dabei sind sie wenigstens so krumm wie der Äquator, der längste Großkeis auf der Erde, die ja keine echte Kugel ist. Sphärische Dreiecke, deren Abmessungen klein sind im Vergleich zum Krümmungsradius, sind von ebenen Dreiecken so gut wie nicht unterscheidbar.

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