Frage von vanilleyoghurt, 35

Newton Verfahren wie?

Hallo :) Ich muss die Nullstelle einer Gleichung mithilfe des Newton Verfahrend näherungsweise berechnen. Normalerweise hatten wir immer die Form F(x) = ... Diesmal aber 2^x = 7 Wie mache ich das jetzt?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

2^x = 7
2^x - 7 = 0

Du sollst die Nullstelle von f(x) = 2^x - 7 bestimmen.

Antwort
von PeterKremsner, 35

Als erstes Umformen auf eine Nullstellen suche:

2^x-7 = 0

und dann ist dein f(x) = 2^x-7

dein f'(x) = 2^x*ln(x)

Kommentar von vanilleyoghurt ,

Danke!

Aber wie kommst du auf diese Ableitung? mit dem ln?

Ich hätte gesagt x2^x-1

Kommentar von PeterKremsner ,

Naja die Ableitung von 2^x ist 2^x * ln(x)

Genau so wie bei e^x:

Da ist die Ableitung auch e^x*ln(e), der ln(e) ist aber 1 deswegen lässt man das auch meistens weg.

Kommentar von PeterKremsner ,

Suboptimierer hat mich gerade auf meinen Tippfehler hingewiesen:

die Ableitung ist: 2^x*ln(2) es wird natürlich immer der ln der Basis genommen.

Kommentar von Suboptimierer ,

*(f'(x) = 2^x * ln(2))

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

2^x= 7 hier ist x=lg(7) /lg(2) =2,80735 oder x=ln(7) /ln(2)=2,80735

siehe Mathe -Formelbuch "Logarithmensysteme"

also 2^2,807 - 7 =0

Tangentenverfahren von Newton x2=x1 - (f(x1) / f´(x1)

hier ist x1 der Schätzwert,der nahe an der Nullstelle liegt und x2 ist der verbesserte Wert.Dieses verfahren wird so oft durchgeführt,bis die Genauigkeit ausreicht.

f(x)=2^x - 7 aus den Mathe-Formelbuch elementare Ableitungen y=a^x abgeleitet y´=f´(x)= a^x * ln(a)

also ist die Ableitung f´(x)= 2^x * ln(a) 

Beispielrechnung mit Schätzwert x1= 2,6 eingesetzt in 2^2,6 -7= - 0,937

eingesetzt in f´(x)= 2^2,6 * ln(2) =4,202 

nun in die Newtonformel eingesetzt  x2= 2,6 - (- 0,937) / 4,202 =2,8229

x2=2,8229 dies ist der verbesserte Wert,den man nun wieder in die Newtonformel einstzen kann.

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