Negative Quadratwurzel?

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5 Antworten

…existiert dafür eine mathematische Begründung, dass Wurzel 16 nur +4 sein kann?

Ja. bereits von meinen Vorrednern erwähnt ist die Forderung, dass

(1) x(y) = √y

eine Funktion darstellen soll. Übrigens wäre auch

(2.1) ›√‹: ℝ → ℝ

keine Funktion, denn dazu muss zu jedem y genau ein, also sowohl höchstens als auch mindestens ein x mit

x = √y

geben, was jedoch wegen

x ∈ ℝ ⇒ y = x² ≥ 0

nicht gegeben ist. Die Wurzelfunktion ist also

(2.2) ›√‹: ℝ₊₌ → ℝ

mit

ℝ₊₌ := {x ∈ ℝ: x ≥ 0}.

Als solche ist ›√‹ zwar injektiv, d.h. die Umkehrbarkeit ist eindeutig, aber nicht surjektiv, d.h. für x < 0 wird kein y auf sie abgebildet. Um sie surjektiv zu machen, muss auch die Bildmenge eingeschränkt werden:

 (2.3) ›√‹: ℝ₊₌ → ℝ₊₌

Diese Abbildung bzw. Funktion (Abbildung ist ein Oberbegriff) ist nun bijektiv, eine 1:1-Abbildung.

Warum unbedingt »+« und nicht »–«?

Hinzu kommt freilich noch, dass die positiven Zahlen sozusagen »zuerst da waren«. Um aus ›√‹ eine Funktion zu machen, könnte man theoretisch auch z.B.

(2.4) ›√‹: ℝ₊₌ → ℝ₋₌

mit

ℝ₋₌ := {x ∈ ℝ: x ≤ 0}

definieren können, aber die Definition (2.3) liegt einfach näher und war sozusagen schon da.

Mathematiker sind in dem Sinne konservativ, dass sie ungern einmal getroffene Definitionen einfach umstoßen. In der Mathematik gilt das Permanenzprinzip, d.h. neue Definitionen sollen mit älteren konsistent sein: Was bisher galt, gilt weiterhin, und es gilt was Neues dazu.

Übrigens wurden negative Zahlen noch bis ins 18. Jahrhundert (!) von Mathematikern für »bedeutungslos«, sozusagen reine Rechenhilfen, gehalten.

Beyond ℝ: Imaginäre und Komplexe Zahlen

Bereits im 16. Jahrhundert gab es freilich erste Ansätze, sogar aus negativen Zahlen Quadratwurzeln zu ziehen - zunächst nur »hilfsweise«, um eine Gleichung 3. Grades lösen zu können.

Gerolamo Cardano gilt als einer der ersten, der mit der imaginären Einheit i rechnete, deren Quadrat –1 ist. Mit ihrer Hilfe lässt sich aus jeder beliebigen Reellen Zahl eine Wurzel ziehen:

(3.1) ›√‹: ℝ → ℝ ∪ iℝ

mit iℝ := { i·x | x∈ ℝ}, wobei

(3.2) √{–y} = i·√{|y|}.

Zahlen aus iℝ heißen (rein) imaginäre Zahlen.

Zahlenmengen sollten freilich auch unter Addition abgeschlossen sein, d.h. mit einer Zahl a und einer Zahl b sollte auch a+b eine Zahl sein. Die Menge


ℂ := { z = x + iy | x,y ∈ ℝ }

heißt die Menge der Komplexen Zahlen, und z ist eine solche Komplexe Zahl. Im 18. Jahrhundert fand Leonard Euler heraus, dass sich dank der Exponentialfunktion

(4) e^{iφ} = cos(φ) + i·sin(φ)

eine Komplexe Zahl auch als

(5.0) z = |z|·e^{iφ}

mit

(5.1) |z| = (x + iy)(x – iy) = x² – i²y² = x² + y²

und

(5.2) φ = arctan(y/x) = arcctg(x/y)

schreiben lässt. Die Schreibweise (5.0) ist für Operationen wie Multiplikation, Division oder Wurzelziehen praktischer. Tatsächlich lässt sich aus jeder komplexen Zahl jede Wurzel ziehen.

Das Mehrdeutigkeitsproblem für Wurzeln verschärft sich in ℂ freilich noch, sodass jeweils ein Hauptwert ausgewählt werden muss.

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Die Wurzelfunktion liefert immer nur positive Ergebnisse oder 0.

-Wurzel(16) = -(+4) = -4

Was du wahrscheinlich meinst, ist dass die Gleichung x² = 16 zwei Lösungen hat, nämlich x = +4 und x = -4 oder zusammengefasst: x = +/- Wurzel(16)

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Kommentar von Dovahkiin11
28.06.2016, 18:31

Weißt du, ob diese Tatsache nur derart definiert wurde, oder existiert dafür eine mathematische Begründung, dass Wurzel 16 nur +4 sein kann?

0

√16 =4,

aber die Gleichung x^2 = 16 führt auf

x^2 - 16 = 0 und damit

(x -√16) * (x +√16)=0

und damit die Lösungen +4 und -4

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Mit sqrt(16) ist das positive Ergebnis gemeint, also 4 und mit -sqrt(16) halt die -4. Eine Wurzelfunktion wie diese liefert nur positive Ergebnisse (Das Vorzeichen ändert sich halt durch das Minus vor der Wurzel)

Du denkst wahrscheinlich an die Gleichung x²=16, wo beide Lösungen zutreffen.

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Kommentar von MatiFragt
28.06.2016, 18:35

Achja, also ist √16 immer 4, aber x^2 =√16 immer 4; -4, richtig?

1

Nein!
Die Wurzel-Funktion ist grundsätzlich so definiert, dass sie NUR positive Werte liefert, oder 0.

Wenn die Wurzelfunktion immer 2 verschiedene Ergebnisse liefern würde, dann wäre es gar keine Funktion!


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