Frage von Mukleur, 33

Näherungswert für das Integral e^(-x^2)?

Hallo, ich soll für das Integral e-x^2 in den Grenzen (1,-1) ein Näherungswert mittels der Taylorreihe aufstellen. So weit so gut, ich habe bis n= 6 ( Stelle x0=0 ) entwickelt und erhalte t6(x)= 1+x2 +(1/2)x4 -(1/6)x6. f(1) = 2,71.., t6(1) =2,33... Wie löse ich nun die zweite Frage: Wieviele Terme im Taylorpolynom müssen Sie berücksichtigen, damit der genäherte Wert auf zwei Stellen hinter dem Komma mit dem (genaueren) Wert I = 1.4936... übereinstimmt? Da wenn ich mein Taylorpolynom weiterentwickle, ich auf einen immer höheren Wert bis zur Zahl e-x^2 komme. Ich muss aber zum Wert 1.49... kommen, wie komme ich dahin? MFG

Antwort
von ELLo1997, 20

Es sollte beginnen mit 1 - (!) x² + ...
Des weiteren darfst du nicht vergessen, dass du ein Integral nähern willst. Das heißt, du musst die Näherungsfunktion ganz wie gewohnt  integrieren und dann erst  F(1) - F(-1) rechnen (F ... Stammfunktion).

Lg

Kommentar von Mukleur ,

ah, den vorzeichenfehler habe ich übersehen

ansonsten ist der rest verständlich, ich danke dir

Kommentar von Mukleur ,

wie komme ich jetzt aber auf die 1,49...

mein Ergebnis ist momentan 0,9173

Antwort
von ELLo1997, 16

War mal so faul, es mit dem Computer auszurechnen. Der rote Graph ist das "Original", grün strichpunktiert die Näherung bis x⁴ und rot blau bis x⁶. c ist der exakte Wert und d der Näherungswert für bis x⁶.

Kommentar von Mukleur ,

danke für die Anschaulichkeit. Ich hab jetzt das ganze mittels der Substitution berechnet, wobei ich die Taylorreihe von e^z verwendet hab, z= -x^2 und anschließend integriert. Komme auf das Ergebnis 1,494 bei der Taylorreihe bis n=9

Kommentar von ELLo1997 ,

Ob du es nun per Substitution machst oder nach der Formel sollte eigentlich keine Rolle spielen, dh du kommst auf dasselbe Polynom. Substitution ist jedoch rückblickend wesentlich angenehmer. Aber solange das Ergebnis stimmt, spielt es keine Rolle wie. ;-)

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 6

Diese Frage habe ich doch gerade hier beantwortet:

http://www.mathelounge.de/377997/naherungswert-e-x-2?show=378084#a378084

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