Frage von kasiabest, 70

Nachfragefunktion gesucht Elastizität, waagerechte Tangente?

Hallo, ich bin auf der Suche nach einem Lösungsweg zu der Aufgabe:

Gegeben ist die Nachfragefunktion x(p)=ap^2+bp+c. Die Funktion besitzt bei einem Preis von p=5 die Elastizität e= - 2 Ist der Preis p=2 beträgt die Nachfrage 16. Bei einem Preis von p=10 besitzt die Funktion eine waagerechte Tangente. Berechnen Sie die Konstanten a, b, und c.

Daraus zu lesen ist der Punkt P1 (2/16) jedoch weiß ich nicht, was man aus der Elastiziätsangabe und der waagerechten Tangente herauslesen kann. Ich hoffe man kann mir weiterhelfen! Danke schonmal im voraus,

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 43

Die Elastizität gibt die Änderung der Nachfragemenge an, wenn sich der Preis ändert, sollte demnach die Ableitung mit gemeint sein, also x'(5)=-2.

Waagerechte Tangente bei p=10 bedeutet, die Steigung ist an dieser Stelle gleich 0, also x'(10)=0.

Damit hättest Du die drei benötigten Gleichungen um die drei Unbekannten zu ermitteln.

Kommentar von kasiabest ,

Vielen Dank für die Antwort!

Habe leider ein Problem bei der weiteren Berechnung.

Bei x'(5)= -2 würde dies bedeuten: x'(p)= 2ap+b -> x'(5)=10a+b=-2

Bei x'(10)=0 -> x'(10)=20a+b=0

Bei x(2)=16 -> 4a+2b+c=16 

Leider erhalte ich dann bei der Berechnung der Konstanten für a=0,2 für b=4 und für c=7,2 in meinen Lösungen sollte jedoch für a=0,25 für b=5 und für c=25 herauskommen. 

Kommentar von Rhenane ,

Setzt Du die Werte der Musterlösung und den Punkt P1 in die Gleichung ein, stimmt das schon nicht.

Nach den durch uns ermittelten Gleichungen muss b=-4 und c=23,2 sein.

(II)-(I) ergibt a=0,2
in (II) eingesetzt: 20*0,2+b=4+b=0 => b=-4
in (III) eingesetzt: 4*0,2+2*(-4)+c=-7+c=16 => c=23,2

(Das mit der Elastizität war eine Schlussfolgerung meinerseits; wüsste aber nicht, was es sonst bedeuten soll, außer die 1. Ableitung...)

Kommentar von Fool09 ,

Die Elastizität ist nicht die erste Ableitung, die gibt näherungsweise an, um wieviel Prozent sich die Nachfrage verändert, wenn der Preis sich um ein Prozent erhöht. Formal gilt dafür: e = (dx/x) / (dp/p) oder wenn man das etwas umstellt e = dx/dp * p/x

Kommentar von Rhenane ,

Vielen Dank für die Aufklärung: also gilt für diese Aufgabe konkret:
e=x'(p) * p/x(p)
-2=(10a+b) * 5/(25a+5b+c)
-50a-10b-2c=50a+5b
100a+15b+2c=0
und mit dieser nun richtigen 3. Gleichung kommen die Werte a=0,25; b=-5; c=25 raus.

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