Ich werde bald nach Hessen umziehen, also in ein neues Bundesland. Muss man dann auch der Versicherung Bescheid geben und wird dann zu einer Geschäftsstelle verlegt, die auch in der Stadt ist oder ist das der Versicherung egal?

Natürlich musst Du denen das nicht melden - aber dann nicht wundern, wenn Du nie mehr Post, neue Policen oder Vertragsunterlagen bekommst. Auch die neue Kontonummer ummelden - enorm wichtig - weil sonst fällt der Schutz weg, wenn die Beiträge falsch abgebucht werden.
Das musst du aber nicht selbst machen. Ruf deinen bisherigen Berater an damit dieser sich darum kümmert. Wäre ja noch schöner! Du kannst dir ja auch gleich vor Ort einen neuen Berater deiner Versicherung suchen oder direkt einen unabhängigen Makler der diese Aufgaben für dich übernehmen kann.
Sorry, aber du kannst natürlich wohnen wo du willst und dich versichern wo du willst. einige deutsche die seit Jahren in den USA leben sind noch in deutschland versichert. Ob du dann bei dir zu Hause beratung bekommst bezweifle ich. Laut gesetzt hast du gewisse Obliegenheiten zu erfüllen. (steht in den Bedingungen) meist musst du dass innerhalb von 3 Monaten melden um deinen Hausrat versichert zu haben. sonst zahlen die Im Schadenfall nicht alles. Adresse sonst gehört auch zu Obliegenheiten in wieweit da aber die Zeiten zu beachten sind weiß ich nicht. (aber ein Anruf genügt)