Muss jede Wohlordnung eine totalgeordnete Menge sein?

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3 Antworten

Eine Wohlordnung auf einer Menge wird meist definiert als eine Totalordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat.

Demnach ist jede Wohlordnung per Definition eine Totalordnung, die Frage macht also so, wie sie gestellt ist, wenig Sinn.

Eine halbgeordnete Menge, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, nennt man fundiert. Vielleicht war also die Frage gemeint, ob jede fundierte Menge wohlgeordnet ist? Die Antwort lautet nein, wie das Beispiel der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ...} mit der Relation "a teilt b" als Ordnungsrelation zeigt: Die natürlichen Zahlen sind bzgl. dieser Relation fundiert (denn jede nichtleere Teilmenge hat bzgl. der normalen Kleiner-Gleich-Relation ein kleinstes Element, und das ist zugleich minimal bzgl. der Teiler-Relation, wie man sich leicht überlegt). Die Teiler-Relation ordnet die natürlichen Zahlen aber nicht total, weil z. B. von den beiden Zahlen 2 und 3 keine die andere teilt.

Beachte: Nicht jedes minimale Element ist kleinstes Element! Denn ein Element kann auch deshalb minimal in einer Menge sein, weil es dort mit keinem anderen Element vergleichbar ist. Minimal heißt nämlich nur, dass es kein größeres Element gibt. Dagegen ist das kleinste Element einer Menge kleiner als jedes andere Element der Menge. Insbesondere sind in Totalordnungen die minimalen Elemente gerade die kleinsten Elemente.

Folgerungen:

  • Jede wohlgeordnete Menge ist fundiert.
  • Jede totalgeordnete fundierte Menge ist wohlgeordnet.
  • Es gibt fundierte Mengen, die nicht totalgeordnet (und daher erst recht nicht wohlgeordnet) sind.



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Ja, eine Wohlordnung ist eine spezielle totale Ordnung.

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Kommentar von MozartSalzburg
07.07.2016, 21:54

Ok, danke, also kann eine Halbordnung nie wohlgeordnet sein?

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Vorsicht junger Mathematiker:

Ein Ordnung und eine Menge sind zwei verschiedene mathematische Entitäten.

Aber deine eigentliche Frage lautet ja wohl: Ist eine Wohlordnung dasselbe wie eine Totalordnung.

Die Antwort lautet: Ja, wenn es um endliche Mengen geht. Nein, wenn es um unendliche Mengen geht.

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