Wenn also die Mutter des Kindes sich entscheidet im Ausland zu bleiben wegen eines Mannes, der ggf. mit ihr zusammenzieht und arbeitet. Muss dann der Unterhaltspflichtige in Deutschland weiter zahlen? Oder greift anderes Recht dann?

Grundsätzlich hängt das nicht vom Aufenthaltsland ab. (Zumindest EU sowie weitere Vertragsstaaten.)
Bei Zusammenziehen mit neuem Partner wird der Kindesunterhalt gar nicht betroffen. Soweit es um den Unterhalt der Mutter geht, hat das in aller Regel Auswirkungen.
ja, er muss zahlen! Allerdings nach ausländischem Recht.
Unbedingt beim dortigen Jugendamt erkundigen.

Schwer zu beantworten, es sei denn die Unterhaltsregelung ist nach dem neuen Unterhaltsrecht zu treffen. Dann hat die Mutter keinen Anspruch.
Fraglich ist auch, ob deutsches oder asuländische Recht gilt
Das Kind hat auf jeden Fall Anspruch
Genau kann dir das (hoffentlich) ein Fachanwalt sagen ( aber die sind mit dem neuen Gesetz auch noch nicht ganz warm geworden.
Er MUß auf jeden Fall für das Kind zahlen. Für die Mutter, kann nur ein Richter entscheiden. L.G.

Da die Mutter eine Partner hat: Nein. Für die Kinder: Immer Ja.