Gestern fing plötzlich die Elektronik meines Audi A3 an zu spinnen. Hab ihn dann in die Werkstatt schleppen lassen. Dort kam heraus, daß das Teil hinter dem Zündschloß, welches die Elektronik regelt (weiß leider nicht die genaue Bezeichnung) kaputt ist. Ich habe das Auto erst vor drei Wochen beim Händler gekauft und am Abholtag gab es mit diesem Teil schon einmal Probleme. Auch der Werkstattmensch sagte, daß dies nicht innerhalb von drei Wochen einfach so kaputt gehen kann. Meine Frage ist nun: Fällt das unter die Gebrauchtwagengarantie bzw. die Sachmängelhaftung? Oder bleibe ich auf den Kosten sitzen? Und wie gehe ich am besten weiter vor?

Bei drei Wochen ist das noch Garantieleistung vom Händler. Er muss die Kosten tragen.
Bei Audi wird man sich nicht erlauben bei einem 3 Wochen alten Wagen eine Rechnung zu stellen. Normalerweise bieten die auch einen kostenlosen Leihwagen. Schließlich ist eine von Audi vertraglich zugesicherte Eigenschaft nicht vorhanden womit Du das eine oder andere Verbraucherrecht bemühen kannst.
Leider ist es kein Neuwagen und ich habe ihn nicht direkt vom Audi-Händler sondern von einem "normalen" Gebrauchtwagenhändler.
Auch da hat man üblicherweise eine 12 Monats Garantie.
Aus meiner Sicht ein klarer Fall von Garantie. Es handelt sich nicht um ein Verschleißteil und innerhalb der ersten 6 Monate muss der Händler dafür gerade stehen. Danach müsstest du ihm nachweisen, dass der Mangel bereits zum Zeitpunkt des Kaufes bestand, das wird aber oftmals schwierig.

Hat der Händler dir das Auto in eigenem Namen verkauft, dann gilt die gesetzliche Gewählleistugspflicht, er muss nachbessern.
Hat er dir das Auto im Auftrag des Vorbesitzers verkauft, dann zahlst du die Reparatur, denn bei Privatverkauf gilt keine Gewährleistung, es sei denn, dir gelingt der Nachweis, dass dem Verkäufer der Mangel schon vorher bekannt war.
Lies mal den Kaufvertrag genau durch!
leider geht aus deiner Frage nicht hervor, ob es ein Neuwagen oder ein gebrauchtes Fahrzeug war, und wenn ein gebrauchtes, ob es das Fahrzeug des Händlers war oder ob er es nur im Auftrag weitergegeben hat - daraus ergeben sich unterschiedliche Ansprüche.
Es handelt sich um einen Gebrauchtwagen, welches ich vom Händler gekauft habe. Laut Vertrag hat er es nicht im Auftrag verkauft.