Frage von Marvib16, 6

Multiplikatives Inverses in 8GF(3)[x]/x^5+ 2)\{0} finden?

Hi,

ich sitze gerade an dieser Aufgabe, bei der a) hab ich bereits rausgefunden, dass (x^5 + 2) nicht irreduziebel ist, da 1 eine Nullstelle ist. Aber wie mache ich weiter?

MfG Marvin

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 2

(x-1) ist damit ein Teiler von (x^5-1)

bzw. (x+2) ist damit ein Teiler von (x^5+2)

Im Restklassenring nach (x^5+2) ist (x+1) damit ein Nullteiler.

Weiter solltest du selber kommen.

Zu b): Der Restklassenring (hier sogar ein Körper) ist ein Vektorraum über GF(3). Mit welcher Dimension, sollte offensichtlich sein.

Kommentar von Marvib16 ,

zur a)

soweit war ich auch, aber genau da komm ich ja nicht weiter. Hab noch in Erinnerung, dass man eine Polynomdivision machen muss (x^5+2):(x+2), wobei dabei x^4+x^3+x^2+x und kein Rest rauskommt. Ist das richtig, bzw was sagt mir das dann?

zur b)

Ich komm auf 25 Elemente, mit p^k also 5 hoch dem Grad des Polynoms. Stimmt das? Hab es aus unserem Vorlesungsskript bin mir aber nicht sicher ob das heir anwendbar ist.

Kommentar von PWolff ,

a) Die Polynomdivision stimmt zwar, ist hier aber unnötig. Du brauchst nur die Tatsache, dass hier überhaupt ein Nullteiler vorliegt.

Wenn es ein Ringelement n gibt, das sowohl invertierbar als auch Nullteiler ist, dann gibt es m und k ungleich 0 mit

n * m = 0

n * k = 1

Rechne k * n * m auf zwei verschiedene Weisen aus. Du solltest ein Ergebnis haben, dass den obigen Voraussetzungen für m und/oder k widerspricht.

b) Stimmt.

Kommentar von Marvib16 ,

Also bei mir wäre n = x+2?

Da ich ja weiß das n ein Nullteiler ist.

Und jetzt muss ich ein Element finden welches mit x+2 multipliziert 0 ergibt und eins welches multipliziert 1 ergibt? Aber wie rechne ich k * n * m auf 2 unterschiedlichen Wegen aus?

Kommentar von PWolff ,

Ja, n = x+2.

Aber weiter musst du entweder alles oder gar nichts finden. Das Wort "widerspricht" sollte dich schon auf die Fährte "indirekter Beweis" gebracht haben.

2 unterschiedliche Wege: Multiplikation ist assoziativ. (Und rechtsinverses und linksinverses sind in allen Gruppen gleich.)

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