Multiplikation des total antisymmetrischen Tensors dritter Stufe mit Summenzeichen?

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2 Antworten

Hi,

ich habe es gerade nachgerechnet. Die Formel stimmt meiner Meinung nach. Wenn du willst, kann ich dir meinen Beweis schicken, er ist allerdings etwas länglich und größtenteils eine Indexschlacht (wobei ich nicht weiß, ob sich das bei dieser Aufgabe umgehen lässt...)

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Kommentar von okarin
07.07.2016, 19:36

Ich glaub ich hab es genau so gemacht wie du bei mir ist es auch ne Indexschlacht :D ( Einfach die Spatprodukte in ihre einzelnen Komponenten zerlegt und dann abgeschätzt was ich machen muss damit sie in die entsprechende Form kommen). Was mich eigentlich am meisten interessieren würde ist wie du das Summenzeichen wegbekommen hast. Bei mir ist halt das einzigste Problem, dass das nich verschwindet.

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Kommentar von okarin
07.07.2016, 19:58

Ach stimmt das ergibt Sinn dann muss mein Fehler schon am Anfang liegen ich hab nämlich bevor ich alles in die Komponenten zerlegt hab ej verschwinden lassen.

(ei * (ek x ej)) * (ej * (el x em))
= (ej * (ej * (ei x ek))) * (el x em)
= (|ej| ^ 2  * (ei x ek)) * (el x em)
= (ei x ek) * (el x em)

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Kommentar von okarin
07.07.2016, 20:53

a = ein Vektor
b = ein Vektor
c = ein Skalar

c * (a * b) = (c * a) * b = a * (c * b)

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Kommentar von okarin
07.07.2016, 20:54

Das nennt sich Bilinearität

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Es spielt in diesem Fall keine Rolle, ob das Summenzeichen da steht oder nicht. Ein Index (nämlich j) kommt auf der linken Seite der Gleichung doppelt vor, und ganz genau dieser Index steht auch beim Summenzeichen.

Dass bei einem doppelten Index grundsätzlich (im juristischen Sinne zu verstehen, also im Sinne von »falls nicht ausdrücklich was anderes da steht«) über diesen summiert werde, sodass man sich das Summenzeichen auch sparen kann, ist eine Konvention, die von Einstein vorgeschlagen wurde.

Insbesondere bei der Formulierung der Relativitätstheorie kann man sich dabei eine Menge Schreibarbeit sparen, denn da kommen alle Nase lang Summationen über Indizes vor (is' halt so bei linearen Abbildungen), wobei hier besonders dann summiert wird, wenn derselbe Index einmal kontra- und einmal kovariant auftritt, wie etwa bei dem Skalarprodukt des Viererimpulses p_µ mit sich selbst,

(1) p_µ∙p^µ = (E/c)² − ‹p|p› = (E/c)²−p_1∙p^1−p_2∙p^2−p_3∙p^3 = m²c²,

die mit der Relativistischen Energie-Impuls-Beziehung identisch ist. Links tritt kein Index in einem einzelnen Produkt doppelt auf, und somit wird hier nicht summiert. Entscheidend ist, dass auf jeder Seite dieselbe Zahl Indizes steht, über die nicht summiert wird.

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