Frage von okarin, 26

Multiplikation des total asymmetrischen Tensors dritter Stufe?

Hallo,

ich hab grade versucht dies zu beweisen (siehe Bild). Aber die Aussage stimmt doch mit dem Summenzeichen gar nicht oder?

Antwort
von martin5744, 9

Das ist nur mit dem Summenzeichen korrekt, ansonsten wäre der Index j nur auf der linken Seite.

Die Überlegung ist hier einfach, wenn man den Trick kennt: Beiträge bekommst du nur dann, wenn i = l und k = m gilt, dann sind beide Levi-Civita-Symbole für ein bestimmtes j gerade 1. Wenn du bei einem Symbol die Indices jedoch anders herum hast, also i = m und k = l, dann ist das eine +1 und das andere –1.

Daraus ergibt sich dann die Formel mit den Kronecker-Symbolen.

Antwort
von SelfEnergy, 3

Doch die Aussage stimmt. Die Idee ist einfach, dass aufgrund der Invarianz des epsilon-Tensors unter Vertauschen von Indizes damit

eps_{ikj} eps{jlm} = eps{jik} eps{jlm}

und man nun betrachten kann, welche Moeglichkeiten es gibt. Nicht verschwindend ist nur, falls entweder die Indizes beider epsilon-Tensoren aufsteigen oder beider epsilon-Tensoren absteigen, das entspricht i=l,k=m. Die genauen Werte sind egal, da ja eh ueber j summiert wird und dann genau EIN Teilsummenbeitrag nicht verschwinden wird.

Steigt ein Index auf und der andere nicht kriegen wir ein Minus-Zeichen, das entspricht i=m,k=l.

Falls i=k=l=m faellt die rechte Seite mit den Kronecker-Deltas auch weg.

Ist nur eine Skizze wie der Beweis geht, aber die Idee wird hoffentlich klar.




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