Frage von sunking1989, 36

Monty-Hall-Problem / "Ziegenproblem" Wer sieht das auch so, bzw. versteht sich in Wahrscheinlichkeitsrechngen?

Guten Tag zusammen,

ansich nur eine Spielerei und für mich persönlich interessant nachvollziehen zu können.

Ich sah gerade mit meiner besseren Hälfte den Film "21 Black Jack" und bin nicht ganz zufrieden mit der erwähnten Wahrscheinlichkeit der zweiten Runde, bzw. habe nichts genaueres dazu finden können.

Aufgebenstellung:

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“

https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

Der höheren Gewinnchance in der zweiten Runde durch den wechsel der Türe stimme ich zu. Ich habe keine Ahnung von Wahrscheinlichkeitsrechnungen allerdings sehe ich die "2/3 Gewinnchance" für die zweite Tür als nicht korrekt an.

Mein Gedankegang so gut es geht plausibel dargestellt:

Folglich logisch die 33.33% im ersten Versuch das "Auto" zu erwischen (1/3) und 66.67% (2/3) auf eine Ziege zu treffen. Im zweiten versuch allerdings sind die Chancen beim Wechsel der Türe (laut Wiki) eine 2/3 Wahrscheinlichkeit das Auto zu treffen??! Das wären 66.67%

Meine Überlegung sah wie folgt aus: Den zweiten Durchgang mal separatiert; 50:50 Gewinn-Chance.

Erste Runde in zweite miteinbezogen: Differenz zwischen 66.67% und 50; 16.67 geteilt durch (3 Türen) = 5.56; 5.56 geteilt durch 2 (in der zweiten Runde sind nur noch zwei Türen vorhanden); ergibt 2.78

Diesen Wert ziehe ich von der gewählten Türe in Runde eins ab und folglich addiere ich den selben Wert in Runde zwei auf die andere Tür (zu der ich wechsel) dazu.

Bleiben wir bei dem gegebenen Fallbeispiel: Erste Runde wähle ich Tür 1. Gamemaster öffnet Tür 3 --> dahinter eine Ziege. In der zweiten Runde wechsel ich jetzt zu Tür zwei (laut Wiki 2/3, d.h. 66.67% Chance für den Gewinn des Autos).

Nach Erläuterung meines oben genannten Einwandes sage ich aber die Chance besteht nur zu 52.78% Und zu 47.22% sofern man seine Entscheidung nicht zur zweiten Türe wechselt.

Das einzige das ich finden konnte, was zumindest die Wahrscheinlichkeit der zweiten Runde darstellt, war eine Simulation. Daraus geht hervor was ich, vermutlich recht babarisch dargestellt habe oder es ist lediglich ein Zufall.

Aus Rund 40000 Durchgängen eine Gewinn-Chance von 53% zu 47%

Was haltet Ihr davon? LG Sun

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 6

Deine Wahl ist mit einer W'keit von 1/3 richtig. Insgesamt muss eine W'keit von 1 heraus kommen. 1-1/3 ist 2/3, welche sich auf alle anderen Optionen verteilen.

Die W'keit deines zuerst gewählten Tors sinkt weder noch steigt sie. Dafür steigt die des nicht rausgeschmissenen Tors.

Wenn 100 Tore vorhanden wären, würdest du mit der Wahl eines Tors zu 1 % richtig wählen. Dann macht der Showmaster einen Kopfstand und deckt 98 Tore auf. Deine erste Wahl ist immer noch zu 1 % richtig. Dafür bündelt sich die Restwahrscheinlichkeit von 99% auf dem anderen, nicht gekickten Tor.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 8

Die Frage taucht jedes Jahr wieder auf, und obwohl bei Wiki alles genau vorgerechnet wird (ganz unten: 2/3 entspricht 66.66666% , weil man durch den Moderator Zusatzinfo bekommt, wo die Ziege garantiert nicht ist) gibt es immer wieder Zweifel und andere Rechenwege...

Und weil man mit Worten meist nicht weiterkommt, habe ich das auch als Beispiel 112 mit in den Iterationsrechner aufgenommen

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0112

in Variable b wird die Anzahl der Iterationen (Spiel bis zum Ergebnis) eingestellt. Mit "Berechnungen starten" kann man immer wieder neue Spiele mit b-Wiederholungen testen (steckt ja ein Zufallsgenerator dahinter).

Egal ob nun 10000 oder 40000 Spiele -> bei solch hohen Zahlen landet man immer in der Nähe um 66.6% (in Variable c) 

Kommentar von hypergerd ,

Korrektur der Formulierung: nicht "Ziege garantiert", sondern

Der Moderator gibt Info, wo der Gewinn garantiert nicht ist.

Antwort
von Physikus137, 30

Na das ist doch recht einfach nachzuvollziehen:

Nennen wir die drei Türen A, B und C und nehmen an, die Ziege wäre hinter Türe A.

1. Du wählst A, erfährst hinter B ist sie nicht. Bei Wechsel: verloren

2. Du wählst B, erfährst, hinter C ist sie nicht. Bei Wechsel: gewonnen.

3. Du Wählst C, erfährst, hinter B ist sie nicht. Bei Wechsel: gewonnen.

Also gewinnst du in zwei von drei Fällen, wenn du die Türe nochmal wechselst, die Wahrscheinlichkeit ist somit wie behauptet ~66,67%

Kommentar von Suboptimierer ,

Du hast da etwas verwechselt. Die Ziege ist nicht der Gewinn.

Aber vom Prinzip her stimmt es schon.

Kommentar von Willy1729 ,

Es soll ja Leute geben, die auf Ziegen stehen. Die wechseln natürlich besser nicht, sonst bekommen sie mit 2/3 Wahrscheinlichkeit noch ein Auto, das sie gar nicht brauchen.

Kommentar von Physikus137 ,

Und ich bin noch nichtmal mit Erdogan verwandt...(und auch nicht mit Böhmermann)

Würde trotzdem eher die Ziege statt des Autos nehmen, wenn auch vielleicht aus anderen Gründen...

Antwort
von Borgler94, 30

2/3 gewinnchance stimmt schon so..

knapp erklärt... am anfang hat jede tür 1/3 wsl.
du wählst eine aus

der master öffnet eine der zwei anderen türen die gemeinsam 2/3 gewinnwsl. haben..... da er eine wegnimmt fallen diese 2/3 nun auf eine tür zusammen... deine tür jedoch hat weiterhin 1/3... also besser wechseln

Kommentar von Borgler94 ,

wenn dus dir aufzeichnest und immer die wsl. dazuschreibst wirds klar

Antwort
von sunking1989, 22

Hier mal der Link zur Praxis

http://www.userpages.de/ziegenproblem/#!/de/spiel_simulation

53 zu 47%

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 21

Hallo,

Du mußt bedenken, daß der Moderator weiß, was sich hinter welcher Tür befindet und sich beim Öffnen der Tür daran hält, wofür sich der Kandidat vorher entschieden hat.

Wählte dieser mit 2/3 Wahrscheinlichkeit eine Ziegentür, wird der Moderator immer die andere Tür mit der Ziege öffnen, so daß eben in 2/3 aller Fälle die vorher nicht gewählte Tür das Auto verbirgt.

Stichwort: Bedingte Wahrscheinlichkeit.

Etwas anderes wäre es, wenn auch der Moderator nicht wüßte, wo sich das Auto befindet und deshalb auch nur zufällig eine Ziegentür öffnet.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 13

Das Teilen (durch 3 dann 2) ist völlig willkürlich also unrechtfertigt und irrelevant.

Bevor der Offenbarung gelten:

₽[~ ich habe die richtige gewählt]=2/3 und ₽[Auto|Wechsel & ~ ich habe die richtige gewählt]=1;

₽[ich habe die richtige gewählt]=1/3 und ₽[Auto|Wechsel & ich habe die richtige gewählt]=0;

Beysianisches Gesetz ergibt:

₽[Auto|Wechsel] = (2/3).1 + (1/3).0 = 2/3;

Du kommst nicht anders um, außer das Verfahren sei anders.

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