Frage von WackyJulieh, 25

Monotonieverhalten mit Parameter bestimmen?

Ich soll bestimmen für welchen Wert von a die Funktion streng monoton fallend ist, g(x)=x³+3x²-4ax+5

Wie funktioniert das? Danke im Voraus!

Antwort
von gilgamesch4711, 10

  Du sprichst in Rätseln; ich mag Leute nicht, die nicht mal die Aufgabenstellung korrekt wieder geben.

   f  '  (  x  )  =  3  x  ²  +  6  x  -  4  a  =    (  1a  )

                   =  x  ²  (  3  +  2 / x  - 4 a / x ²  )     (  1b )

    Für  ( dem Betrage nach ) große x geht die Klammer gegen 3 ; d.h. die Steigung dieses Polynoms geht asymptotisch gegen ( + °° ) wie x ² . Dein a spielt doch überhaupt keine Rolle.

   Jetzt könntest du natürlich her gehen und fragen: Fürwelche a gibt es überhaupt ein Intervall, auf  welchem die Kurve fällt? ( Falls dies dein Interesse sein sollte. ) Jetzt muss man aber wissen; in der letzten Frage hatte ich es wieder betont:

   " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe ermüdende Melodie. "

   Und zwar sind ===> topologisch drei Fälle zu unterscheiden:

   1) Es gibt keine Extrema; der Graf verläuft streng monoton wachsend ( also Fehlanzeige )

   2) Grenzfall: Der WP ist ein ===> Terrassenpunkt ( eben Falls ungeeignet )

   3) Existieren die beiden Extrema, so hast du eine fallende Wendetangente.

   Jetzt sollte man wissen; wie berechnet man diesen WP? Hier ich geb dir mal'n heißen Tipp für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )  Die 2. Ableitung vergiss; dein Lehrer hat sowieso keine Ahnung. Du gehst aus von der Normalform, die du sowieso schon gegeben hast:

   f  (  x  )  :=  x  ³  +  b2  x  ²  +  b1  x  +  b0     (  2a  )

         b2  =  3  ;  b1  =  -  4  a  ;  b0  =  5     (  2b  )

    Dann findest du den WP

    x  (  w  )  =  -  1/3  b2  =  (  -  1  )      (  2c  )   

    also völlig unabhängig von a . Wäre nur noch die Steigung der Wendetangente gemäß ( 1a ) zu berechnen:

    m  (  w  )  =  3  -  6  -  4  a  =    (  3a  )

      =  -  (  3  +  4  a  )     (  3b  )

    Du musst also a wählen

   a  >  a  (  krit  )  =  (  -  3/4  )    (  3c  )

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