Frage von hasabbah, 54

Monotonieverhalten f(x) = x^3 * e^x?

Hallo Leute

Ich habe diese Funktion abgeleitet (e^x * (x^3 + 3x^2)) und Null gesetzt, aber an diesem Punkt komme ich schon nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PeterKremsner, 15

Wenn du die Maxima und Minima gefunden hast dann ist im Prinzip die Monotonie einfach, du sortierst die Hoch und Tiefpunkte nach Steigender X Koordinate.

Deine Ableitung stimmt schon mal du kannst sie aber noch vereinfachen: e^x*x²*(x+3)

Das wird dann 0 gesetzt:

e^x*x²*(x+3) = 0

Daraus sieht man folgendes:

  1. e^x kann nicht 0 werden.
  2. x² kann null werden und gibt dir eine doppelnullstelle bei 0
  3. Der Term (x+3) wird bei x = -3 null

Somit haben wir unsere drei Nullstellen gefunden.

Das bedeutet wir kennen die x Werte unserer Extrema. Jetzt bestimme wir welche Extrema das sind.

Dazu brauchen wir die 2te Ableitung:

Die ist: e^x*x*(6+6*x+x^2) und setzen hier die Werte der Extrema ein

f''(0) = 0

f''(-3) = 0.45

Bei einem Minimum ist die zweite Ableitung positiv und bei einem Maximum ist sie negativ:

also haben wir ein Minimum bei x = -3

Den Fall dass die zweite Ableitung 0 ist müssen wir uns näher ansehen:

Zweite Ableitung 0 sagt leider nichts danach aus ob es sich hier um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Diesen Fall müssen wir näher beleuchten:

Wenn dieser Fall auftritt kommt es drauf wann die erste höhere Ableitung ungleich 0 ist.

Also gehen wir mit den Ableitung weiter und bilden die 3te Ableitung:

f'''(x) = e^x (6+18 x+9 x^2+x^3)

Wenn ich jetzt hier x = 0 Einsetze sehe ich:

f'''(0) = 6, die Ableitung ist ungleich 0

Jetzt kommt es drauf an ob die Ordnung der Ableitung gerade oder ungerade ist, wir haben es in diesem Fall mit der 3ten Ableitung zu tun, die Ordnung ist ungerade, dann gilt:

Wenn die Ordnung der Ableitung ungerade ist, hat die Funktion an dieser Stelle kein lokales Maximum oder Minimum.

Wenn die Ordnung der Ableitung gerade ist:

  1. und positiv, haben wir ein relatives Minimum
  2. und negativ, haben wir ein relatives Maximum

(komplett Analog zur zweiten Ableitung)

In unserem Fall wissen wir dadurch dass wir keinen Extremwert bei x = 0 haben, es bleibt zur Betrachtung nur noch der Tiefpunkt bei x = -3.

  • Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt ist die Monotonie immer monoton fallend
  • Zwischen einem Tiefpunkt und einem Hochpunkt ist die Monotonie immer monoton steigend
  • Zwischen -unendlich und einem Tiefpunkt ist die Monotonie immer monoton fallend
  • Zwischen -unendlich und einem Hochpunkt ist die Monotonie immer monoton steigend
  • Zwischen einem Tiefpunkt und +unendlich ist die Monotonie monoton steigend
  • Zwischen einem Hochpunkt und +unendlich ist die Monotonie monoton fallend

(Die Angaben -uendlich usw. beziehen sich auf die x-Werte)

Wenn wir den Tiefpunkt jetzt analysieren haben wir den Fall von -unendlich bis zu einem Tiefpunkt und vom Tiefpunkt bis zu +unendlich:

Also von -unendlich bis x=-3 (Intervall: ]-unendlich,-3]) ist die Funktion monoton fallend.

und von x=-3 bis +unendlich (Intervall: [-3,unendlich[) ist die Funktion monoton steigend.

Kommentar von hasabbah ,

danke sehr, perfekt!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 24

e^x(x³+3x²) wird Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. e^x ist immer >0, also bleibt nur noch x³+3x²=0 übrig => x²(x+3)=0, usw...

Antwort
von Justin91, 16

Willst du die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden, musst du prüfen, ob f'(x) < 0 bzw. > 0 ist für alle x im Definitionsbereich (oder eben innerhalb eines bestimmten Intervalls).

Heißt konkret: Prüfe, ob f'(x) = e^x*(x^3 + 3x^2) < 0 oder f'(x) > 0 gilt.

Antwort
von ReterFan, 12

Ist e eine weitere Variable? In diesem Falle wäre es eine Kurvenschar... Dabei ist es sehr Zeitaufwändig, das monotonieverhalten zu ermitteln und wird in der Schule deswegen auch selten gefordert

Kommentar von PeterKremsner ,

e wird die eulersche Zahl sein, nehm ich mal an...

Kommentar von ReterFan ,

Okay dann nehm ich das zurück...

Antwort
von gilgamesch4711, 3

  Vorschlag zur Güte. Im Ursprung hast du eine 3-fache Nullstelle; eine ( mehrfache ) Nullstelle von ungerader Ordnung ist stets ein ===> Terrassenpunkt. Damit haben wir von Links nach Rechts einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus.

   Für x ===> ( - °° ) bitte beherzigen: Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. Damit verebbt der Graf in ( - 0 ) ; wir erwarten

       x  (  w  )  <  x  (  min  )  <  0        (  1  )

   Die Ableitung bilden wir am Besten durch ===> logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===> impliziten differenzierens.

     ln  (  y  )  =  x  +  3  ln  (  x  )       (  2  )

       y  '  /  y  =  0  =  1  +  3 / x  ===>  x  (  min  )  =  (  -  3  )     (  3  )

       y  (  min  )  =  -  ( 3 / e )  ³     (  4  )

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