Frage von Rayap, 26

Monotonie untersuchen?

ich soll von der aufgabe f(x)=(2x)/(x^2+1) die monotonie bestimmen. wie genau mache ich das ich hab gesehen das je nach dem f'(x) prositiv oder negativ ist sie noton fallend oder streng monoton steigend ist und wenn es zb wie eine norm parabel verleuft sie monoton steigend ist aber wie ich das nu genau mache weiß ich nich

Antwort
von Vaultdoor101, 18

Schau dir doch mal die Hoch- und Tiefpunkte an und dann siehst du, was davor und dahinter passiert. 

Antwort
von seifreundlich2, 9
  • monoton fallend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine negative Steigung und kann an einzelnen Stellen waagrechte Tangenten aufweisen beziehungsweise Sattelpunkte haben. Eine Funktion mit Extrema hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - verloren.

  • streng monoton fallend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine negative Steigung. Eine Funktion mit Sattelpunkten hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - schon verloren.
  • monoton steigend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine positive Steigung und kann an einzelnen Stellen waagrechte Asymptoten aufweisen beziehungsweise Sattelpunkte haben. Eine Funktion mit Extrema hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - verloren.
  • streng monoton steigend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine positive Steigung. Eine Funktion mit Sattelpunkten hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - bereits verloren.

Beispiel: Untersuche die Funktion f(x) = |x| + 2 partiell sowie in ganz ℝ auf ihre Monotonie.

Kommentar von Mikkey ,

Tut mir leid, aber Deine Unterscheidung zwischen Monotonie und strenger Monotonie ist nicht richtig.

Die Definition zieht nicht die Ableitung heran, sondern definiert

a>b => f(a) >= f(b) für (einfach) monoton steigende Funktionen und

a>b => f(a) > f(b) für streng monoton steigende Funktionen.

Tatsächlich braucht eine monotone Funktion noch nicht einmal differenzierbar zu sein.

Kommentar von seifreundlich2 ,

Mag sein, dass die Definition die Monotonie anderweitig beschreibt. Die Definition ist sinngemäss dennoch gleichbedeutend mit meiner obigen Antwort.

Kommentar von Mikkey ,

Du kannst nicht einfach eine eigene Definition einführen.

Die Funktion x -> x³ ist streng monoton steigend, obwohl sie das wegen des Sattelpunkts nach Deiner Lesart nicht sein dürfte.

Kommentar von seifreundlich2 ,

Gut, nach diesem Beispiel sehe ich deinen Kommentar ein. Du hast recht, es ist nicht haargenau dasselbe. Mein Fehler.

Danke für deine Belehrung.

Kommentar von ralphdieter ,

Ein Sattelpunkt ist kein Hindernis für strenge Monotonie. Zum Verletzen von f(a)>f(b) bräuchtest Du zwei verschiedene Punkte a, b mit f(a)=f(b), also ein ganzes Intervall (a, b) mit f '=0.

Ein Extremwert am Rand ist ebenfalls kein Hindernis für strenge Monotonie. Nur innere Extrema verhindern per Definition strenge Monotonie. Monoton kann die Funktion trotzdem sein.

Beispiele:

  • f(x)=x³ ist streng monoton und hat einen Sattelpunkt in (0,0).
  • f(x)=π ist monoton und hat ein Maximum bei (42,π).

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