Monotonie bei an=4n/(2-3n)?

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4 Antworten

Überprüfe allgemein die Differenz zwischen zwei aufeinaderfolgenden Folgegliedern:

4(n+1)/(2-3(n+1)) - 4n/(2-3n)

(auf gleichen Nenner bringen, ausmultiplizieren und berechnen)

und du wirst feststellen, dass diese Differenz für alle n positiv ist.

Daraus folgt, dass jedes Folgeglied größer ist, als das vorangegangene -> monton steigend (sogar streng monoton)

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Die Folge lässt sich umschreiben zu -4/3 - 8/3 • 1 / (3n-2)
Der Nenner zweiter Hand steigt mit steigendem n, damit wird der Bruch kleiner, und da ein Minus vor dem Bruch steht, ist die Folge streng monoton steigend.
Die Umformung bekommt man durch Polynomdivision hin

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wenn du das nur überprüfen sollst und nicht beweisen sollst,

setzt du für n dann 1 und 2 und 3 ein und guckst, ob steigend oder fallend;

n=1 dann 4/(2-3) = -4

n=2 dann 8/(2-6) = -2

n=3 dann 12/(2-9) = -1,71

also monoton steigend


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Kommentar von Stiehlerismus
13.08.2016, 23:01

Ich habe gerade erfahren, dass wir es doch beweisen müssen:/

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Ich nehme an, man kann sich das als Funktion vorstellen:

a(n)=4n/(2-3n)

a'(n) = die 1. Ableitung von a nach n: zeigt dir die Steigung der Funktion in jedem Punkt an

a'(n) = (4*2-4*3n-4n*(-3)) / (2-3n)^2 = 8 / (2-3n)^2
-> "8 / (2-3n)^2" ist positiv und nie Null

Sprungstelle bei "2-3n=0", also bei n=2/3 (da Nulldivision nicht definiert ist) -> "Unstetigkeitsstelle" 

-> Funktion ist in den Intervallen (-unendlich, 2/3) und (2/3, unendlich) streng monoton steigend.

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Kommentar von gfntom
13.08.2016, 23:40

Ich nehme an, man kann sich das als Funktion vorstellen

Nur bedingt. Es intessieren nur die ganzahligen n. Was bei einer Funktion zwischen diesen Stützstellen passiert, ist irrelevant.

Es stimmt natürlich, dass eine durchgehend positive 1. Ableitung der "Ersatzfunktion" bedeutet, dass auch die Folge monton steigt. Wenn jedoch die 1. Ableitung das Vorzeichen mehrmals wechselt, lässt dies so noch keinen Schluss über die Monotonie der Folge zu.

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