Frage von Palindrom112, 69

Monomordnung?

Ich habe eine Verständnis Frage zu Monomordnungen: Sei k ein Körper Ich habe gelesen, dass es auf k[x1,x2] unendlich viele Monomordnungen gibt. Kann mir das jemand hier veranschaulichen/erklären? Also mir sind die lex und graded reverse lex bekannt, aber ich verstehe absolut nicht warum unendlich viele...

Antwort
von Melvissimo, 55

Beachte, dass die Monome des k[x,y] isomorph zum N² sind, wobei N die natürlichen Zahlen (mit 0) sind. Der Isomorphismus ist gegeben durch 

(a,b) ~> x^a * y^b.

Insbesondere genügt es, Ordnungen auf dem N² zu betrachten, die die entsprechenden Eigenschaften erfüllen.

Sei jetzt t eine transzendente Zahl (d.h. es gibt kein Polynom P mit rationalen Koeffizienten, sodass P(t) = 0 ist). Sei T der Vektor (1, t) des R². 

Seien nun A, B Elemente von N². Wir definieren:

A < B genau dann, wenn A * T < B * T (Skalarprodukt).

Man kann zeigen, dass dies in der Tat eine Monomordnung ist.

Ferner kann man zeigen, dass auf diese Weise für unterschiedliche transzendente Zahlen unterschiedliche Ordnungen entstehen. 

Da es aber unendlich viele transzendente Zahlen in R gibt, gibt es auch unendlich viele Monomordnungen.

Kommentar von Palindrom112 ,

Hey super und vielen Dank für die hilfreiche und ausführliche Erklärung!!!

Warum benutzt du das t eine transzendete Zahl ist, würde das ganze nicht auch schon mit t aus |N funktionieren?

Kommentar von Melvissimo ,

Ich bin mir unsicher, ob das genügt. Die Transzendenz wird meines Wissens genutzt, um zu zeigen, dass unterschiedliche Zahlen auch unterschiedliche Ordnungen induzieren. Ich müsste mich näher damit befassen um zu prüfen, ob das auch für beliebige Zahlen funktioniert.

Kommentar von Palindrom112 ,

Ich denke der Knackpunkt ist ,dass für n aus |N die Anforderung der Totalität an die Ordnung nicht gegeben ist(Notwendige Voraussetzung einer linearen Ordnung), da

(0,1)*T = (n,0)*T.

Was dann die Frage aufwirft ob t irrational genügt^^

Kommentar von Palindrom112 ,

ich mein natürlich Antisymmetrie und nicht Totalität :D

Kommentar von Melvissimo ,

So, ich habs nochmal durchgerechnet.

Tatsächlich braucht man keine Voraussetzung an t, um zu zeigen, dass die Ordnungen paarweise verschieden sind.

Um zu zeigen, dass es sich um eine Monomordnung handelt, braucht man (meines Erachtens) tatsächlich nur, dass 1 und t linear unabhängig über den rationalen Zahlen sind. D.h. Irrationalität sollte wirklich ausreichen.

Ich glaube, die Transzendenz braucht man eher, wenn man den Beweis auf k[X1, ..., Xn] verallgemeinert. Da benutzt man nämlich den Vektor (1, t, t², ..., t^(n-1)). Wenn t nur irrational ist, könnten sich dabei aber rationale Zahlen als Komponenten zwischenschummeln (siehe etwa t = sqrt(2)).

Gut, dass du nachgehakt hast; wieder was gelernt ;)

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