Frage von mclovinsausweis, 80

Moin Leute warum muss ich, um so weit wie möglich ein Fußball zu schießen einen Schusswinkel von 45° haben.Mathematischer/Physikalischer Beweis wäre gut?

Mathe,Physik, Trigonometrie, Sinus, Cosinus,Tangens

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 35

Hallo,

bei einer Bewegung, die nicht genau senkrecht oder waagerecht verläuft, mußt Du die Anfangsgeschwindigkeit in eine senkrechte und eine waagerechte Komponente aufteilen. Wenn v die Abschußgeschwindigkeit des Fußballs und a der Winkel, unter dem er geschossen wird, ist, gilt folgendes:

vx (waagerechte Komponente der Geschwindigkeit)=v*cos(a)

vy (senkrechte Komponente)=v*sin(a).

Nun gibt es drei Formeln, die die Bahn des Balles (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) beschreiben:

Y=vy²/(2g) Y soll hier die maximal erreichbare Höhe sein; vy bedeutet nicht v*y, sondern ist die senkrechte Komponente der Ballgeschwindigkeit beim Abschuß. g ist die Fallbeschleunigung von 9,8 m/s²

t=√[(2Y)/g] t ist die Zeit in Sekunden, während der der Ball in der Luft ist.

t*vx=R R ist die maximale Reichweite, die der Ball bei einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit erreichen kann, vx ist die waagerechte Komponente der Abschußgeschwindigkeit - auch hier bedeutet vx nicht v*x.

Diese drei Formeln müssen jetzt zu einer zusammengefaßt, die Ableitung nach a - also dem Abschußwinkel - gebildet und auf Null gesetzt werden, um den Winkel zu bestimmen, unter dem der Ball die größte Reichweite erlangt.

Wir müssen also R=t*vx so umformen, daß es eine Funktion nach a wird.

t wird durch √[(2Y)/g] ersetzt:

R=√[(2Y)/g]*vx

Y ersetzen wir durch vy²/(2g):

R=√[(2(vy²/(2g))/g]*vx=√[(2vy²)/(2g²)]*vx=√(vy²/g²)*vx=vx*vy/g

Jetzt ersetzen wir vx noch durch v*cos(a) und vy durch v*sin(a):

R=f(a)=[v*sin(a)*v*cos(a)]/g=(v²/g)*sin(a)*cos(a)

Wenn Du das nach a ableitest, bekommst Du 

f'(a)=(v²/g)*[sin²(a)-cos²(a)] (Produktregel anwenden, der Faktor v²/g bleibt erhalten).

Das mußt Du nun auf Null setzen. v²/g wird nur bei v=0 Null - diese Lösung scheidet natürlich aus. Also muß der andere Faktor, nämlich sin²(a)-cos²(a), Null werden, es muß also gelten: sin²a=cos²a.

cos²(a)=1-sin²(a)

sin²(a)=1-sin²(a)

2*sin²(a)=1

sin²(a)=0,5

sin(a)=√0,5

a=arcsin (√0,5)=45°

Bei einem Abschußwinkel von 45° wird eine maximale Reichweite erzielt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Wechselfreund ,

f'(a)=(v²/g)*[sin²(a)-cos²(a)]

Alternative ab hier:
sin²(a)-cos²(a) = 0
sin²(a)  = cos²(a)

sin (a) = cos (a) -> gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, alpha = 45°

Antwort
von Wechselfreund, 64

(Gilt nur ohne Luftwiderstand...)

Sieh mal unter

http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/waagerechter-und-schrager-wurf

Hier findest du eine Gleichung für die Wurfweite. Darin kommt das Produkt sin alpha mal cos alpha vor. Das ist maximal für alpha gleich 45°, (lässt sich über Ableitung beweisen)

Kommentar von mclovinsausweis ,

Vielen Dank !

Kommentar von PeterSchu ,

Das gilt allerdings für den Punkt, an dem der Ball zu ersten Mal aufspringt. Rein gefühlsmäßig würde ich aber sagen,
wenn gemeint ist, wo der Ball nach dem endgültigen Ausrollen liegen bleibt, kann es anders ausehen.

Wenn der Ball flacher aufspringt, springt er auch mit einer größeren Geschwindigkeitskomponente weiter (nach vorne), als wenn er steiler aufspringen würde. Auf die Praxis bezogen würde ich also zur Antwort von Mikkey tendieren.

Aber da es um eine mathematische Aufgabe geht, denke ich, dass deine Lösung mit 45 Grad gemeint ist.

Antwort
von Mikkey, 27

Um mal etwas Realität hineinzubringen:

Um einen Fußball besonders weit zu schießen, muss man ihn mit etwa 30° gegen die Horizontale abschießen und dabei etwas unterschneiden.

Vergleich: Beim Golf sind es nur etwa 15°, dafür ist ein guter Abschlag weit über 200 km/h schnell.

So etwas lässt sich auch berechnen, das würde die Möglichkeiten hier aber übersteigen.

Kommentar von Wechselfreund ,

Um mal etwas Realität hineinzubringen:

Es dürfte sich um eine Schulaufgabe handeln...

Kommentar von Mikkey ,

Ach, und bei Schulaufgaben wird die Realität ohne Anmerkung ignoriert?

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