Frage von mav22, 57

Möglichkeiten zum Lösen einer Gleichung mit 2 Variablen gesucht!?

Guten Tag

Ich bin während der Repetition für die Vorbereitung für die Matura (Abi) auf folgende Gleichung gestossen: xy=2006(x+y)

Nun habe ich keine Ahnung mehr wie ich das Lösen soll :D Bedingung dabei ist dass X bzw. Y nicht 0 sind und nur Zahlen der Menge Z. Habe schon versucht nach y bzw x aufzulösen, aber mir fehlt das know how dazu, habs verlernt.. Im Internet fand ich auch keine Anleitung dazu (Wolfram Alpha hätte evtl etwas aber für die Lösungswege brauche ich nen Premiumaccount). Ich hoffe ihr könnt mir Tricks zur Gleichung verraten :)

Antwort
von Rubezahl2000, 45

xy=2006(x+y)
xy = 2006x + 2006y
y=2006 + y•2006/x
y – y • 2006/x = 2006
y(1-2006/x) = 2006
y= 2006 / (1-2006/x)

Jetzt (in EXCEL oder so) ausprobieren, für welche ganzzahligen x auch ganzzahlige y rauskommen 

Kommentar von mav22 ,

Das war auch meine beste Umformung.. Man kann das nun für Y in der Ursprungsgleichung einsetzen, aber damit kommt man nicht weiter, man kommt nur zum Resultat dass x ungleich 2006 

Kommentar von mav22 ,

Ich probiers nochmal damit weiterzurechnen :D

Antwort
von osavvi9, 54

Da links x mal y ist und rexhts x plus y in klammern steht, kannste eine Seite auflösen :) 

Mach einfach minus x 😄 dann kommt 0 = 2006 y

Konnte Mathe nie aber habs Abi trotzdem locker geschafft haha 😄 

Kommentar von mav22 ,

Ja und dann bin ich bei Y= 0 und X= 0 was mich nicht weiterbringt.. Ich weiss die Antworten, doch der Rechnungsweg bleibt mir verborgen, habs mit Logarithmisieren etc versucht... Nix geklappt.

Kommentar von AnnnaNymous ,

sorry, aber leider falsch umgeformt.

Kommentar von osavvi9 ,

Ist mir auch grad aufgefallen :D sry

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

xy = a (x + y) mit a = 2006 → xy = ax + ay → xy - ay = ax → y (x - a) = ax →

y = ax / (x - a) .

Das ist eine gebrochen rationale Fkt. mit senkrechter As. x = a (mit VZW)

und waagrechter As. y = a und Ns. x = 0. Das Schaubild ist eine Hyperbel.

Kommentar von stekum ,

Die gesuchten Punkte mit x, y ϵ ℤ liegen also auf der Hyperbel.

Durchprobieren mit x = a + 1, a + 2, . . . , a - 1, a - 2 . . .

Kommentar von mav22 ,

Das haben wir eben erst behandelt.. Warum kam ich da selbst nicht drauf :)

Danke, müsste man dann ja noch diskutieren diese Kurven, aber da ich die Lösungen weiss bekommt man auf deine weise bestimmt 5 richtige und das reicht vollkommen.

Kommentar von stekum ,

Vielen Dank für Deine Rückmeldung. Das ist immer der schönste Lohn für die Mühe, die man sich gemacht hat.

Antwort
von NirojanNi, 54

Vielleicht mit Produkt-Gleich-Null-Regel, denn wenn eine Variable 0 ist, müssen auch andere 0 sein. Denke ich mal so...

Kommentar von mav22 ,

0 ist aber keine Lösung und es gibt 53 andere. Ich weiss nur nicht wie draufkommen. Hab mal umgeformt und falsch gerechnet dann kam ich auf ein richtiges Resultat aber das war Zufall.

Kommentar von AnnnaNymous ,

Stelle doch mal bitte eine Lösung ein - das spricht tatsächlich für eine diophantische Gleichung.

Kommentar von mav22 ,
x = -4022030,   y = 2005
x = -234702,   y = 1989
x = -11918,   y = 1717
Kommentar von AnnnaNymous ,

sorry - leider hat das meine Theorie nicht bestätigt. Ich habe aber nochmal anders umgeformt - vielleicht bringt Dich das einen Schritt weiter:

2006 = x*y / (x+y)

sorry, es ist auch schon spät, ich lasse mir die Aufgabe nochmal morgen durch den Kopf gehen, finde ich selbst interessant^^.

Kommentar von mav22 ,

Ja soweit kam ich auch ;) 

Meine erste Lösung erhielt ich mit dem 2 mal falsch umgeformten 

y=2006/(2006*x+x^2)

das gibt dann  so gerundet y =-2006 und das stimmt. Aber eigentlich gibt es -2005.9 irgendwas 

Antwort
von AnnnaNymous, 57

Es könnte auch eine diophantische Gleichung sein - aber dazu müsste ich mich zu sehr wieder einarbeiten - vielleicht googlest Du das mal.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 42
Kommentar von AnnnaNymous ,

Hurra, ich lag zumindest nicht ganz falsch^^

Kommentar von mav22 ,

Hab ich schon gesehen, doch forme mal meine Gleichung um :/

Kommentar von Ellejolka ,

gib im link mal ein; xy=2006x+2006y und lass es berechnen.

Kommentar von mav22 ,

Das bringt mich genau wieder auf die eingegebene Gleichung. Ich glaube ich kaufe mir mal Wolfram Premium :(

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