Frage von N983T, 21

Modulo von hohen Potenzen?

Gegeben ist 14862^10000 + 405703^555 mod 9. Ich hätte gerne mal eine Lösung dazu. Ich hab schon viele Tips bekommen aber das hat mir alles nicht geholfen. Ich habe zu erst versucht es in zwei teile aufzuspalten:

14862^10000 mod 9 = x und 405703^555 mod 9 = y um dann x und y anschließend zu addieren. Außerdem ist mir folgendes Gesetz bekannt: a^k mod n = (a mod n)^k mod n.

Ich finde es ja gut mir ansätze vorzuschlagen allerdings versuche ich mich schon sehr lange daran und habe noch viele weitere solcher aufgaben zu rechnen daher wäre ich über einen lösungsweg für mich als beispiel sehr entgegenkommend. Danke!

Antwort
von wrglprmft, 9
14862^10000 + 405703^555
  = (1651*9 + 3)^10000 + (45078*9+1)^555  mod 9
  =  3^10000           + 1^555            mod 9
  =  (3^2)^5000        + 1                mod 9
  =  0^5000            + 1                mod 9
  =  0                 + 1                mod 9
  =  1                                    mod 9

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