Frage von Nemadies, 97

Mit welcher Methode muss ich Integrieren?

f(x)=x^2e^x . So also hab schon partielle Integration ausprobiert, allerdings kommt das falsche Ergebnis raus. (Richtiges Ergebnis soll 1/3x^3(1-ln(x))+1/9x^3 sein) Kann mir bitte noch jemand anhand eines Beispiels nochmal kurz und für Nicht-Mathe-Freaks Substitution erklären, kann das Thema nicht ganz so gut (bitte keinen Link zu einer Internetseite, habe das schonmal gegoogelt) . Und Kriterien nennen wann man partielle, Substitution oder normale Stammfunktion bilden bzw anwenden kann. Danke schonmal im Vorraus :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 48

Hallo,

lautet die Funktion f(x)=x²*e^x oder f(x)=x^(2*e^x)?

Zur ersten Version paßt Deine Lösung nämlich nicht.

Mit partieller Integration, die Du zweimal anwenden mußt und bei der Du e^x als f' interpretierst, kommst Du auf F(x)=e^x*(x²-2x+2)+C

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Nemadies ,

OK... Also hab mir die Lösung nur so gehört und aufgeschrieben. Aber die erste Version ist richtig.

Kommentar von Nemadies ,

OK die Lösung die ich mir aufgeschrieben habe gehörte zu ner anderen Aufgabe. Allerdings bin ich ehrlich gesagt noch am nachvollziehen wie man auf die Lösung kommt... Bei meiner eigenen Lösung kam 0 raus

Kommentar von Willy1729 ,

∫(x²*e^x)dx

Bei der partiellen Integration betrachtest Du einen der beiden Faktoren als eine Ableitung, den anderen als normale Funktion.

Dann gilt:

∫(f'*g)=f*g-∫(f*g')

Welchen Faktor Du als Ableitung auffaßt, kannst Du Dir aussuchen. In diesem Fall sollte es natürlich e^x sein, weil diese Funktion auf sich selbst ableitet.

e^x=f(x)=f'(x)=F(x)

x²=g(x)

2x=g'(x)

∫(e^x*x²)=e^x*x²-∫(e^x*2x)

Nun ist immer noch ein Integral vorhanden, das noch einmal partiell integriert wird. Wieder ist e^x=f'(x)

∫(e^x*2x)=e^x*2x-∫(e^x*2)=e^x*2x-2∫e^x=e^x*2x-2e^x

Zusammengefaßt mit dem ersten Teil ergibt das:

e^x*x²-e^x*2x+2e^x

Nun noch e^x ausklammern:

F(x)=e^x*(x²-2x+2)+C

Willy

Kommentar von Nemadies ,

Wow. Ich hab grade voll das schlechte Gewissen, dass ich du dir soooo viel Mühe für mich gemacht hast. Das finde ich richtig super. Ich war aber in der Zwischenzeit auch fleißig nachamdenken, wobei ich herausgefunden habe, dass ich wie du geschrieben hast, doppelt partiell integrieren muss. Komme fast auf das exakt gleiche Ergebnis, nur jetzt ist die Abweichung bei der 2 ganz hinten, Welche nach meiner Rechnung nicht addiert wird sondern subtrahiert wird. Das mit dem C würde mir in der Schule auch schon ganz oft erklärt, aber weiß nichtmehr weshalb genau man das C braucht. Muss man das beim normalen Stammfunktion bilden auch dahinter schreiben oder immer nur generell bei der partielle Integration? Soweit ich das verstehe ersetzt das ja z. B. wenn man die Funktion x^2+5 ableitet in dem Fall die 5. Daher wird bei der Stammfunktion, da man nicht weiß ob der Wert wirklich 5 war, durch C ersetzt.

Kommentar von Willy1729 ,

Das mit dem C hast Du richtig verstanden. Die Integration ist das Gegenteil der Ableitung und eine Funktion ist die Ableitung ihrer Stammfunktion. Da eine Konstante beim Ableiten spurlos verschwindet, ist es nicht möglich zu erkennen, von welcher Stammfunktion eine vorliegende Funktion durch Ableitung entstanden ist. Aus diesem Grund setzt man dieses C.

Bei der Flächenberechnung hebt es sich dann aber wieder auf.

Willy

Kommentar von Nemadies ,

OK. Und wann muss das C unbedingt immer hingeschrieben werden? Theoretisch sollte man ja nach der ersten Partiellen Integration schon ein C erhalten sodass man man am Ende zwei drinstehen hat. Wieso ist das nicht so? :)

Kommentar von Willy1729 ,

Es ist einfacher, das C erst ganz am Schluß hinzuschreiben. Für die Berechnung spielt es zunächst ohnehin keine Rolle.

Kommentar von Nemadies ,

Ja aber wenn man es in der Aufregung formal richtig machen will, wann muss dann das C immer geschrieben werden?

Kommentar von Willy1729 ,

Da fragst Du am besten Deinen Lehrer, wie er es haben möchte. Ehrlich gesagt, kümmert mich dieses C beim Integrieren nicht sonderlich. Ich schreib's eigentlich nur hin, weil's halt gemacht wird. Für das, was ich mache, brauche ich es nicht. Rechne ich mit Hilfe der Stammfunktion eine Fläche aus, hebt es sich ohnehin auf - also lasse ich es gleich weg, habe aber im Hinterkopf, daß es eigentlich da ist.

Ich betreibe die Mathematik aus reiner Liebhaberei, muß keine Klassenarbeiten und sonstwas schreiben. 

Ich habe aber mal im Kusch nachgesehen, einem Standardwerk der Mathematik. Hier wird auch bei der partiellen Integration das C erst am Schluß hingeschrieben, wenn kein Integral mehr übrig ist. Dann sollte dies formal wohl richtig sein.

Willy

Kommentar von Nemadies ,

*in der Abiklausur. Sry :D Autokorrektur

Kommentar von Nemadies ,

OK super. Dir einzigste Sache die mir noch unklar ist, ist das mit der +2 am Ende. Wieso kommt da nicht -2 hin bzw. was wird aus der Minus 2, dass da plus 2 raus kommt.

Kommentar von Willy1729 ,

Die +2 entstand durch das Auflösen der Klammer.

Nach dem ersten Integrieren bleibt doch noch ein Integral erhalten, das subtrahiert wird.

Nachdem ich dieses zweite Integral aufgelöst hatte, mußte ich es von dem Teil, der bereits fertig war, abziehen. Dadurch haben sich die Vorzeichen umgekehrt.

Kommentar von Nemadies ,

Ahhhh. Also um das zweite Integral muss ich eine Klammer setzen wenn ich das erste mit dem zweiten Integral weiterhin zusammen aufschreibe. Danke nochmal, du hast mir sehr geholfen :)

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 36

du musst hier 2 mal die partielle I. anwenden.

- beim Produkt → partielle

- bei zB x/(5x+7) →  substi

- normale int bei zb x³

Antwort
von poldiac, 31

http://www.th-wildau.de/baetjer/homework/p00_ma1/46_komplett.htm

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