Frage von SasukeHatake, 52

Mit einer Endziffernbetrachtung irrationale Zahlen begründen?

Wie begründet man über eine Endziffernbetrachtung, dass bestimmte Wurzeln wie z.B. √2 irrationale Zahlen sind?

Antwort
von YStoll, 36
Jede Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder selbst eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen (im Dezimalsystem).

Das ist auch relativ leicht zu beweisen, wenn man das Quadrieren von abbrechenden Kommazahlen anschaut. 


Angenommen wir haben eine Zahl x mit endlich vielen Nachkommastellen.
Wir können die Anzahl der Nachkommastellen zählen und diese Zahl n
nennen. Dieses n muss eine natürliche Zahl sein. Beispiel: x = 1,414 hat
drei Nachkommastellen ==> n = 3. Null kann dabei also nie die letzte
Ziffer sein.


Wir können diese Zahl zerlegen: 1,414 = x = 1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000.
Jetzt quadrieren wir diese Zahl: 1,414² = x² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)²
Wobei (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² ähnlich wie nach den Binomischen Gesetzen ausmultipliziert werden kann. 


(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) * (1 +
4/10 + 1/100 + 4/1000) = 1 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/10 * (1 +
4/10 + 1/100 + 4/1000) + 1/100 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/1000 *
(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + (4/10 +
16/100 + 4/1000 + 16/10000) + (1/100 + 4/1000 + 1/10000 + 4/100000) +
(4/1000 + 16/10000 + 4/100000 + 16/1000000) wobei die Klammern im
letzten Term nur der Übersicht dienen.

Jetzt könnte man alle Summanden ordnen und sammeln und z.B.  16/100 zerlegen in 1/10 + 6/100.


Dann fällt einem auf, dass man genau einen Summand mit " /1000000"
erhält, hier: 6/1000000. Das ist die letzte Stelle der quadrierten Zahl.
Diese ist immer gleich der letzten Ziffer des Quadrats der letzten
Ziffer der Ausgangszahl.
Also: x = 1,414 ==> letzte Ziffer: 4 ==> 4²=16, davon die letzte Ziffer: 6 ==> 6 ist die letzte Ziffer von 1,414².


Außerdem hat diese in der oben verwendeten Schreibweise den Divisor
1000000 was gerade das Quadrat des Divisors der letzten Ziffer der
Ausgangszahl x sein muss.


Es gibt keine reelle Zahl außer der Null (welche nicht die letzte
Stelle von x sein darf) deren Quadrat Null ergibt. Somit ist die letzte
Stelle des Quadrats also immer von Null verschieden.


Das Quadrat einer reelle Zahl mit n endlich vielen Nachkommastellen hat also immer 2 * n Nachkommastellen.


Es kann also keine relle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen
Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist ( oder irgendeine andere
natürliche Zahl).




Kommentar von YStoll ,

copy&paste meiner Antwort auf ein Ähnliche Frage:

https://www.gutefrage.net/frage/weiss-jemand-die-genaue-wurzel-der-zahl-2-diese-...

Nicht für dich wichtiges einfach überlesen.

Kommentar von Roach5 ,

"Es kann also keine reelle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist (oder irgendeine andere natürliche Zahl)" Kleiner Einwand: (-3)(-3) = 9, (-3) ist keine natürliche Zahl! Wir sollten das also in "ganze Zahl" ersetzen. Ja, die Aussage stimmt sonst, das Quadrat einer nicht-Ganzzahl ist nie eine ganz-Zahl (in R), aber damit ist der Irrationalitätsbeweis von sqrt(2) noch nicht abgeschlossen. Du musst noch den Fall betrachten, wenn die Zahl zwar unendlich viele Nachkommastellen hat, diese aber periodisch sind. Ich denke hier könnte man mit der Periodenlänge argumentieren: Ist eine rationale Zahl r im Dezimalsystem periodisch, so hat r^2 auch eine Periode.

Kommentar von YStoll ,

Vielen Dank für den ersten Hinweis, das ist zwar nur "Formsache" aber natürlich trotzdem wichtig.

Deine zweite Anmerkung ist bedeutender. Ich habe hier nicht bewiesen, dass √2 irrational ist, sondern nur, dass es keine abbrechende Kommazahl sein kann. Das kam einfach daher, dass ich die Antwort nur von einer anderen Frage kopiert hatte. Dort war dies als letzte Schlussfolgerung ausreichend.

Kommentar von Roach5 ,

Insofern ist die Aufgabenstellung des Lehrers nicht gut, da die korrekte Endziffernbetrachtung nicht ausreicht, um Irrationalität zu beweisen.

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