Frage von Ungenie, 46

Mit dem Differentialquotient die Steigung in einem Punkt einer Exponentialfunktion 2^x herausfinden?

Hallo,

ich verzweifel hier mal wieder an Mathe. Es geht diesmal um 2^x. Da würde ich gerne wissen, wie ich die Steigung im Punkt (1,2) mit dem Differentialquotient herausfinde. Für die ganzrationalen Funktionen ist das ganze kein Problem, weil da das h im Nenner gekürzt werden kann. Das ganze scheint nur leider nicht für Exponentialfunktionen zu funktionieren. Da steht dann sowas wie 2^x * 2^h-2/ h. Das h bekomm ich nicht aus dem Nenner. Auch hier (http://matheguru.com/analysis/differentialrechnung/203-ableitung-einer-exponenti... ) steht das h immer im Nenner Lässt man dann den Limes gegen 0 laufen, würde man ja durch 0 teilen, oder? Könnte jmd mir erklären, wo ich falsch denke? :)

Lg und herzlichen Dank schonmal im Voraus

Antwort
von precursor, 28

f´(x) = lim h --> 0 mit (f(x + h) - f(x)) / h

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f(x) = 2 ^ x

f´(x) = lim h --> 0 mit (2 ^ (x + h) - 2 ^ x) / h

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(2 ^ (x + h) - 2 ^ x) / h = (2 ^ x * 2 ^ h - 2 ^ x) / h

2 ^ x klammern wir aus -->

(2 ^ x * 2 ^ h - 2 ^ x) / h = 2 ^ x * (2 ^ h - 1) / h

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f´(x) = lim h --> 0 mit 2 ^ x * (2 ^ h - 1) / h

lim h --> 0 mit (2 ^ h - 1) / h = ln(2) (kann ich leider nicht begründen warum !)

f´(x) = ln(2) * 2 ^ x

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Hallo,

in Ergänzung zur Antwort von precursor:

f'(x)=lim(h->0): 2^x*(2^h-1)/h

=2^x*[lim(h->0):(2^h-1)/h]

Für den Ausdruck (2^h-1)/h kannst Du die Regel von l'Hospital benutzen, indem Du Zähler und Nenner nach h ableitest:

Im Nenner hast Du dann eine 1 stehen, während der Zähler 2^h-1 die Ableitung ln(2)*2^h hat.

Wenn h gegen Null geht, geht 2^h gegen 1 und es bleibt ln(2) übrig.

So bekommst Du insgesamt die Ableitung 2^x*ln(2).

Allgemein gilt:

f(x)=a^x, f'(x)=ln(a)*a^x, denn a^x=e^(ln(a^x))=e^(x*ln(a))=
ln(a)*e^(x*ln(a)) (Kettenregel).

e^(x*ln(a))=e^(ln(a^x))=a^x

Also: f'(x)=ln(a)*a^x

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

dafür musst du wissen, dass der Grenzwert von (2^h - 1)/h mit

h → 0

ln(2) ergibt;

dann hast du

2^x • ln(2)   als Ableitung.

Antwort
von AnglerAut, 17

Du teilst hier im für h gegen 0 im Endeffekt 0 durch 0, was du dann mit L`Hospital lösen wirst.

Und du machst deine Frage leserlicher, wenn du richtige Klammersetzung in deiner Frage benutzt.

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