Frage von hansphysik, 61

Mischungstemperatur, wie löst man dies?

Hallo

Ich habe da ein kleines Problem zur folgenden Aufgabe:
Welche Mischungstemperatur erhält man, wenn man ein einem Gefäss mit 2kg Wasser von 20°C (cw=4.19kJ/(kgK)) ein Eisstück von 200g und 0°C ohne äussere Wärmezufuhr schmelzen lässt? Die Wärmeaufnahme des Gefässes ist zu vernachlässigen, die Schmelzwärme des Eises beträgt q=333kJ/kg.

Besten Dank Lg

Expertenantwort
von vach77, Community-Experte für Chemie, 25

Zuerst muss das Eis geschmolzen werden. Dazu wird die Wärmemenge
Q(Schmelzwärme) = m(Eis) • c(Eis) = 200 g • 333 J/g = 66600 J benötigt.
Das warme Wasser muss diese Wärmemenge liefern. Dabei kühlt es sich um Δϑ ab.

Es ist
Δϑ = Q(Schmelzwärme) / c(Wasser) • m(Wasser)
= 66600 J / [(4,2 J/g) • 2000 g] = 7,93 °C.

Sobald das Eis geschmolzen ist, hat sich das warme Wasser um
ϑ = ϑ (warmes Wasser) – Δϑ = 20 °C – 7,93 °C = 12,07 °C abgekühlt.

Das durch die Eisschmelze abgekühlte Wasser mischt sich mit dem Eiswasser und kühlt sich auf die Mischungstemperatur ϑm ab.

Jetzt folgt eine einfache Mischungsrechnung, wobei Qab = Qauf

Im Gegensatz zu Geograph erhalte ich als Mischungstemperatur

ϑm = 10,97 °C.

Kommentar von hansphysik ,

Qab = Qauf
mw * cw *(Tw-Tm) = me * qe

mw*cw*Tw-me*qe/mw-cw=tm

mit Zahlen eingesetzt ergibt dass dann 12.05°C, siehst du meinen Fehler?

Antwort
von KuarThePirat, 30

Welches Problem hast du denn? https://de.wikipedia.org/wiki/Richmannsche_Mischungsregel Du hast die Massen, du hast die Wärmekapazität und du hast die Schmelzwärme. Bei Verwendung der Schmelzwärme musst du natürlich keine Temperatur angeben, aber das sieht man ja schon an der Einheit.

Also einfach einsetzen, ausrechnen und du bist fertig.

Kommentar von hansphysik ,

Qab = Qauf
mw * cw *(Tw-Tm) = me * qe

mw*cw*Tw-me*qe/mw-cw=tm

mit Zahlen eingesetzt ergibt dass dann 12.05°C, siehst du meinen Fehler?

Kommentar von vach77 ,

Qab = Qauf

m(warmes Wasser) • c(Wasser) • (ϑ - ϑm) = m(Eiswasser) • c(Wasser) • (ϑm - 0 °C)

2000 g (12,07 °C - ϑm) = 200 g • ϑm

11 ϑm = 120,7 °C

ϑm = 10,97 °C

Expertenantwort
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 17

Systematischer Ansatz:

Wir haben ein geschlossenes System ohne Wärmeübertragung (adiabat) und ohne Arbeit.

Dann gilt:
ΔU ges = ΔQ + ΔW = 0 (Energieerhaltungssatz für ein geschlossenes adiabates System ohne Arbeit.)
daraus folgt:
ΔUw = ΔUe

ΔUw = cw * mw * (T1 - Tm)
ΔUe = q * me + cw * me * (Tm - Te1)
cw: spez. Wärmekap. Wasser = 4.19kJ/(kgK)
q = Schmelzenthalpie des Eises = 333kJ/kg
mw: Masse des Wassers = 2 kg
me = Masse des Eises = 0,2 kg
T1 = Temp Wasser Zustand 1 = 293,15 K
Tm = Mischtemp, soll berechnet werden
Te1 = Temp. des Eises vor und nach dem Schmelzen = 273,15 K

ΔUw = ΔUe damit ergibt sich:
cw * mw * (T1 - Tm) = q * me + cw * me * (Tm - Te1)
cw * mw * T1 - cw * mw * Tm = q  * me + cw * me * Tm - cw * me * Te1
cw * me * Tm + cw * mw * Tm  = cw * mw * T1 + cw * me * Te1 - q  * me
Tm (cw * me + cw * mw) = cw * mw * T1 + cw * me * Te1 - q  * me
Tm = (cw * mw * T1 + cw * me * Te1 - q  * me) / (cw * me + cw * mw)

Tm = (4.19kJ/(kgK) * 2 kg * 293,15 K + 4.19kJ/(kgK) * 0,5 kg * 273,15 K - 333kJ/kg * 0,5 kg) / (4.19kJ/(kgK) * 0,5 kg + 4.19kJ/(kgK) * 2 kg)

Tm = (2457 kJ + 572 kJ - 166,5 kJ) / (2,1 kJ/K + 8,38 kJ/K) = 2863 kJ / (10,48 kJ/K)
Tm = 273,19 K = 0,04 °C

Ich bitte aber, nochmal nachzurechnen, das Ergebnis wirkt aber plausibel. Ein zimmerwarmes Getränk kann mit viel Eis bis fast auf 0°C herabgekühlt werden,

Kommentar von hansphysik ,

Danke für die Antwort, die Hauptgleichung stimmt, denn wenn ich dies so im TR mit dem solver löse erhalte ich die 10.97C. Nach dieser  Auflösung der Gleichung komme ich jedoch nicht auf diese Antwort, wissen Sie wo der Fehler liegt. LG

Kommentar von Hamburger02 ,

Was ist TR mit solver (kenne ich nicht)? Wo kommen die 10,97 °C her? Soll das die richtige Lösung sein?

Antwort
von Geograph, 28

Zum Schmelzen des Eises werden m * q = 66,6 KJ gebraucht
Die Temperaturänderung der 2kg Wasser beträgt
ΔT = 66,6kJ / (2kg * 4,19 kJ/(kgK)) = 7,9K

Mischtempertatur: 2kg Wasser mit 12,1°C und 0,2kg Wasser mit 0°C
m •T = m1 •T1 + m2 •T2
T sind absolute Temperaturen: T1 = (273,1 +12,1)K und T2 = 273,1K
T = (m1 •T1 + m2 •T2) / (m1 + m2) = 281,4K = 8,3°C


Kommentar von hansphysik ,

Danke für die Antwort, laut lösungsheft sollte die mischtemperatur jedoch 10.96 bertagen, sehe jedoch den fehler nicht ;)

Kommentar von Geograph ,

Könnte ein Rechenfehler meinerseits sein

Kommentar von Geograph ,

Sorry, war ein Rechenfehler
T = (m1 •T1 + m2 •T2) / (m1 + m2) = 284,1K = 11°C

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