Methode der kleinsten Fehlerquadrate herleiten?

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1 Antwort

r[i] = |y[i] – (ax[i]+b)| für alle 0≤i<n. Nun

SE² := ∑r[i]² = ∑ (y[i] – (ax[i]+b))² über alle i.

Darum

∂SE²/∂a = ∑ ∂/∂a (y[i] – (ax[i]+b))²  wegen Linearität
= ∑ 2·(y[i] – (ax[i]+b))·-x[i] Kettenregel
= 2·(∑y[i]x[i] + a∑x[i]² + b∑x[i])
= 2n·(-MW(x·y) + a·MW(x²) + b·MW(x))

(hierbei steht MW(·) für Mittelwert)

∂SE²/∂b = ∑ ∂/∂b (y[i] – (ax[i]+b))²  wegen Linearität
= ∑ 2·(y[i] – (ax[i]+b))·-1 Kettenregel
= -2·(∑y[i] - a∑x[i] - ∑b)
= -2n·(MW(y) - a·MW(x) – b)

Zur Optimierung müssen ∂SE²/∂a und ∂SE²/∂b gleichzeitig gleich 0 sein. Dies gilt gdw.

-MW(x·y) + a·MW(x²) + b·MW(x) = 0; und
MW(y) - a·MW(x) – b = 0

gdw. (Lösung eines LGS):

    MW(x·y) – MW(x)·MW(y)     Cov(x,y)
a = --------------------- = --------
MW(x²) – Mw(x)² Var(x)

Cov(x,y)
b = MW(y) – -------- · MW(x)
Var(x)
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