Frage von gumpo03, 27

Mengenlehre: Mengen welche durch Gleichungen definiert sind vergleichen?

Hallo. Ich habe in einer Aufgabe 4 Mengen. Diese werden so definiert:

M1 = {k ∈ N | ∃x(x ∈ N ∧ k² + 4k + 4 = 2x + 4)} 
M2 = {l ∈ N | ∀y(y ∈ N → y ≤ l)}    
M3 = {m ∈ N | m + 1 ≤ 0} 
M4 = {n ∈ N | ∃z(z ∈ N ∧ n = 2z)} 

Nun soll ich beispielsweise folgende Aussage belegen bzw. wiederlegen:

(a) M1 = M2 
(b) M1 = M3 
(e) M2 = M4 

Nun habe ich durch ein wenig logisches Denken und überprüfen herausgefunden dass M1 alle geraden Natürlichen Zahlen enthält. Begründet habe ich das folgendermaßen:

M1 = {k ∈ N | ∃x(x ∈ N ∧ k² + 4k = 2x)}
4k → immer gerade
k² → gerade wenn k gerade, ungerade wenn k ungerade
ungerade + gerade = ungerade
gerade + gerade = gerade
→ M1 enthält alle geraden Natürlichen Zahlen

Hierzu schon die erste Frage: genügt eine solche Begründung? Wie könnte ich das Mathematisch korrekter ausdrücken?

Und bei M2 weiß ich auch nicht so recht welche Menge hier beschrieben wird. y<=l ?! Müssten dass dann nicht alle Natürlichen Zahlen sein, weil es für jede Natürliche Zahl eine kleinere oder genauso große Natürliche Zahl gibt?

M3 müsste dann alle Natürlichen Zahlen < 0 enthalten und M4 enthällt ebenso wie M1 alle geraden Zahlen.

Doch wie drücke ich meine vergleiche nun Mathematisch Korrekt aus? Ich bin mir nicht sicher ob es ok ist das ganze einfach Textlich zu begründen und würde gern wissen wie ich es Mathematisch begründe?

Vielen Dank!

Antwort
von Physikus137, 2

M2 = ∅, denn ist l ∈ M2 so müsste ja l ≥ y ∀ y ∈ ℕ gelten. Für y ≔ l + 1 gibt das aber schon einen Widerspruch.

M3 = ∅, weil für ∀ m ∈ ℕ : m ≥ 1 ⇒ m+1 ≥ 2 ≰ 0

M1 = M4 = Menge der geraden Zahlen.

Für M4 ist das offensichtlich, für M1 kann man das auch so sehen:

k² + 4k + 4 = 2x + 4

(k+2)² = 2(x+2)

⇒ (k+2)² = gerade ⇒ (k+2) = gerade ⇒ k gerade.

Also k ≥ 2 ⇒ (k+2)² ≥ 16 ⇒ 2(x+2) ≥ 16 ⇒ x ≥ 6 

Damit gibt es für alle k = 2n, n∈ℕ ein x∈ℕ so daß die angegebene Bedingung erfüllt ist.

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