Frage von Mathestudentin3, 64

Mengenbeziehung beweisen?

Hallo zusammen,

ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Sitz schon bisschen an einer Aufgabe wo mir einfach das Verständnis fehlt! Und zwar geht es darum die folgende Mengenbeziehung zu beweisen.

P(A U B) = P(A) U P(B) <=> A C B V B C A

Wobei P für Potenzmenge steht und das C für Teilmenge.

Also ich hab mich über Potenzmenge schlau gemacht und ich versteh was die Aussage sagt allerdings denke ich nicht das A eine Teilmenge von B sein muss oder andersherum. Können A und B nicht unterschiedliche Elemente enthalten? Und wenn ich einen Denkfehler habe ist auch mein Problem wie man sowas beweisen soll/kann?:S

Ich hoffe Ihr könnt mir noch den Tag retten :D Danke im Voraus

Antwort
von TailorDurden, 40

Mach zwei Beweise, einen pro Richtung.

Würde jedes Mal mit einem Gegenbeispiel arbeiten, das ist hier wesentlich einfacher.

Nicht so schwer. Definier Dir immer ein Element, welches die Bedingung nicht erfüllt und zeig dann, dass die Folgerung nicht mehr allgemeingültig ist. Typisch für Beweis durch Gegenbeispiel.. habt ihr sicher schon öfter gemacht ;-)

Antwort
von Melvissimo, 34

Sagen wir, x ist ein Element, das nur in A enthalten ist und y ist ein Element, das nur in B enthalten ist.

Sicher ist dann {x,y} C A U B, also ist {x,y} € P(A U B).

Umgekehrt ist {x,y} aber weder Teilmenge von A (y liegt nicht in A), noch eine Teilmenge von B (x liegt nicht in B), also ist {x,y} kein Element von P(A) U P(B). 

Also sind P(A U B) und P(A) U P(B) verschieden.

Kommentar von Rowal ,

wäre noch zu erwähnen, dass die umgekehrte Richtung trivial ist.

Antwort
von Mathestudentin3, 21

Also ist die Aussage nicht korrekt? Hab ich das richtig verstanden? Die Fragestellung ist nämlich so rüber gekommen als sei dies richtig und ich müsse das beweisen allerdings scheint mir die Aussage nicht korrekt...

Danke für eure Hilfe :))

Kommentar von Melvissimo ,

Doch, die Aussage ist korrekt. Ich habe in meiner Antwort bewiesen, dass falls 

(A C B V B C A) falsch ist, auch P(A U B) = P(A) U P(B) falsch ist. Logisch ist das dasselbe wie

P(A U B) = P(A) U P(B) => A C B V B C A.

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