Frage von LarsWiegels, 46

Meine Lehrerin meinte ich würde die Ableitung kompliziert ausrechnen, aber wie geht es einfacher?

Die Ausgangsaufgabe heisst: Leite f(x) = x^3 ab!

Dann hab ich erst einmal faktorisiert, so dass ich hatte f(x) = x * x * x und hab dann die Produktregel angewandt. Da es sich hier aber um ein "Dreierprodukt" handelt hab ich die erste Teilfunktion mit u(x) = x * x und die zweite mit v(x) = x definiert.

Nun hab ich die Formel für Produktregel angewandt, also f(x) = u(x) * v(x) --> f´(x) = Ableitung u * Funktion v + Funktion u * Ableitung v

also auf obiges Beispiel: f `(x) = Ableitung aus (x * x) * x + (x * x) * 1

Da ich nun mit der Ableitung (x * x)`wieder eine Produktableitung hatte, habe ich das nochmal abgeleitet, so dass dann folgendes heraus kam:

f ´(x) = (1 * x + x * 1) * x + (x * x) * 1

dann hab ich die Klammern ausmultipliziert:

f ´(x) =1 * x * x + x * 1 * x + x * x * 1

und dann zusammengefasst:

f´(x) = x² + x² + x² = 3x²

Meine Lehrerin meinte, aber das wäre total kompliziert gerechnet, aber wie soll das einfacher gehen???

Antwort
von Physikus137, 37

Das dein Rechenweg kompliziert - wenn auch richtig - ist haben dir ja nun schon genug Leute vorgehalten, auch der einfache Weg f(x) = x^n => f'(x) = n * x^(n-1) wurde schon mehrfach genannt. Die spannende Frage indes, warum dem so ist sind sie alle schuldig geblieben.

Die Beantwortung derselben folgt direkt aus der Definition der Ableitung:

f'(x) = Grenzwert von ( f(x+h) - f(x) ) / h für h -> 0

für x^n also: ( (x+h)^n - x^n ) / h für h -> 0

Jetzt kann man den Term (x+h)^n nach dem Binomischen Lehrsatzt auflösen, oder sich folgendes klar machen: 

(x+h)^n = (x+h) * (x+h) * ... * (x+h) , n-mal

als erstes werden nur die x multipliziert, das ist x^n

zweitens multiplizierst du das h aus der ersten Klammer mit den x aus allen anderen Klammern und dann das h aus der zweiten Klammer mit den x aus allen anderen Klammern ... das geht genau n-mal, weil es ja n Klammern sind und du erhältst n*x^(n-1)*h.

Jetzt hast du (x+h)^n = x^n + n*x^(n-1)*h + Rest, wobei im Rest nur noch Summanden mit höheren Potenzen von h vorkommen.

Wenn du das in die Definition der Ableitung einsetzt, ergibt das 

f'(x) = ( x^n + n*x^(n-1)*h + Rest - x^n ) / h = n*x^(n-1) + Rest/h

Da im Rest in jedem Summanden höhere Potenzen von h vorkommen kann man Rest mit h kürzen und es bleibt noch mindestens ein h in jedem Summanden übrig. Für h -> 0 bleibt dann also nur 

f'(x) = n*x^(n-1)

 übrig.

Antwort
von FelixFoxx, 29

f(x)=x^n, dann ist f'(x)=n * x^(n-1)

Belegen kann man das mit vollständiger Induktion und der Produktregel.

n=0: f(x)=x^0=1 ist konstant, f'(x)=0

Die Regel gelte für n

n->n+1: f(x)=x^(n+1)=x^n *x

lt. Produktregel: f'(x)=n * x^(n-1) * x +x^n * 1=n * x^n + 1 * x^n=(n+1) * x^n

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 46

Ist das ein Scherz?
Eine einfache Potenz wird immer so abgeleitet:

f(x) = x^n
f'(x) = n * x^(n-1)

Daher:
f(x) = x³
f '(x) = 3x²

Antwort
von sunshine146, 33

Anleitungen sind eigentlich sehr einfach wenn man sie versteht.
Dein weg ist wirklich etwas lang 😯 aber du kommst ja wenigstens auf das richtige Ergebnis und die profuktregel wirst du später noch oft genug benötigen.

Mach es dir ganz einfach:

f(x) =x^3

Schrittfolge:
1. Du schaust Dir den Exponenten der Funktion an
2. Ziehst den Exponenten vor dein x wert
3. Ziehst vom Exponenten 1 an

Und das muss man immer so machen.

Das wären dann :
f' (x) = 3x^(3-1) =3x^2

Anderes beispiel:
f (x) = 3x^2
f'(x) = 3*2 x^(2-1) = 6 x

Oder
f (x) = 2x^2 + 4x^3 (siehe summenregel)
f'(x) = 4x + 12x^2

Das ganze nennt man exponentenregel

Kommentar von JTR666 ,

"Und das muss man immer so machen."
Diese Aussage ist einfach Bullshit! Das geht nur, so lange du einen reellen Exponenten hast!
Leite mir doch mal bitte nach dieser Regel 5^x ab. Wenn du jetzt x*5^(x-1) raus hast, kann ich dir nur sagen, dass es völlig verkehrt ist! (5^x abgeleitet ist ln(5)*5^x).

Antwort
von ich313313, 18

f(x) = x³

"Lösungsformel": Wenn f(x) = x^t, dann: f´(x) = t*x^(t-1).

Das heißt, dass du einfach die Hochzahl mit dem x multiplizierst. Also: 3*x. Dann die Hochzahl -1. Also ist das Ergebnis 3x².

Deine Lösungsweg hab ich mir nicht durchgelesen. Man sieht die Lösung mit der Methode oben nämlich sofort, ohne irgendwas zu rechnen.

Antwort
von RadioAktiv, 1

Ich finde, dass du es sogar sehr gut gelöst hast.

Ich bemängel häufig, dass viele Menschen eine Formel einfach immer wieder anwenden, ohne sie selber herleiten zu können- sie also nicht wirklich verstanden haben.

Du bist wirklich mathematisch korrekt vorgegangen und hast ein Lob dafür verdient.

Dennoch solltest Du dir aber die andere Methode angewöhnen-da sparst du wertvolle Zeit ein. -Und die wirst du noch brauchen.... Und ich bin davon überzeugt, dass Du dir die Regel:

f(x) = x^n
f'(x) = n * x^(n-1)

selbst herleiten kannst.

Ich finde es echt toll, dass Du ein neues Problem auf ein bereits bekanntes Problem zurückgeführt hast. Und nicht einfach irgendwas auswendig gelerntes benutzt hast.

Antwort
von sum95, 34

Also ich kann mir echt nicht vorstellen, dass du das nicht weißt. Man lernt die Potenzregel doch als allererstes. Du kennst ja sogar schon die Produktregel.....Naja Wie dem auch sei. Meine Vorredner haben schon alles richtig erklärt

Antwort
von wiedermalich, 37

vorab: deine rechnung ist absolut richtig!

im allgemeinen wendet man aber die form an: den faktor von X multipliziert man mit X und subtrahiert 1. dazu gibt es sogar ein mathematischen bweis, der aber über 2 DIN A4 seiten geht und erst in der uni behandelt wird ^^

also: x^3 => 3*x ^2

und fertig


Antwort
von kleinefragemal, 42

o Gott.. hab mir deinen Lösungsweg gar nicht erst duchgelesen, sorry^^ aber deine Lehrerin hat definitv recht ;) du machst dir zu viel Arbeit ^^

die Regel bei Potenzen ist einfach: wenn du zB x^2 hast, dann steht da ja sozusagen 1 * x^2. Du nimmst jetzt den Multiplikanden, der vor dem x steht - hier also 1 und multiplizierst ihn mit dem Exponenten - hier also 2. Der Exponent selber wird außerdem immer eine Zahl weniger bei der Ableitung. Ergebnis? 2x

Oder bei deiner Aufgabe: x^3 .. 1*3= 3, Exponent-1 ..ergibt: 3x^2

(bei x^4 ist das dann 4x^3 bei x^5 = 5x^4 und so weiter .. ganz einfach eigentlich:))

..ups.. Volens (User unter mir) hat das selbe in viel einfacher erklärt^^ hätte deine Lehrerin dir doch auch sagen können? ^^

Kommentar von Superstudent ,

Warum einfach, wenn man auch den Lehrer verwirren kann ;-).

Antwort
von rhavin, 44

ax^y  -> ayx^(y-1)

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