Meine Aufgabe Es sei f 2pi-periodisch fortgesetzt von x^2 mit x element ]-pi,pi[ und ich soll jetzt die REELLEN fourierkoeffizienten von f berechnen?

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2 Antworten

Hi,

was sind die Fourierkoeffizienten? -> a0, ak und bk.

Da die Funktion gerade ist, ist bk = 0. Hast Du irgendwo aufgezeichnet, schau in Deine Vorlesungsaufzeichnungen.

Bleibt ein ak und a0 zu berechnen übrig. Der Koeffizient lässt sich mit

  • ak = 2 / T * ∫ f(t) * cos(kω * t) dt [0, T]

berechnen. T ist die Periodendauer. Die ist gerade 2π (hast Du ja gegeben). ω kannst Du aus 2π / T = 1 berechnen. Die Integrationsgrenzen verschiebst Du so, dass Deine Funktion definiert ist.

Also hast Du den Koeffizienten

  • ak = 1 / π * ∫ t^2 * cos(kt) dt [-π, π]

Dieses Integral kannst Du dann mit 2x partieller Integration lösen. Wenn Du richtig integriert, richtig umgeformt und vereinfacht hast, kommt

  • ak = [4 * (-1)^k] / k^2

als Ergebnis raus. Fehlt noch a0:

  • a0 = 2/T ∫ f(t) dt [0, T]

= 2/3 * π^2

Das ist das Ergebnis Deiner Aufgabe. Zur Veranschaulichung wofür die Fourierapproximation gut ist kannst nun das n-te Fourierpolynom aufstellen mit

  • φn(t) = a0/2 + ∑ ak cos(kωt) + bk sin(kωt) [k = 1, n]
  • φn(t) = π^2 / 3  + ∑ [4 * (-1)^k] * sin(kt) / k^2 [k = 1, n]

Das Fourierpolynom dient zur Approximation der Funktion über Vielfache von periodischen Funktionen sin und cos. Kannst Du Dir hier (https://www.desmos.com/calculator/ssctxtjmve) gut veranschaulichen lassen. Wie Du sehen kannst wird hier die Approximation besser mit zunehmendem n. Kannst gerne selbst mal rumspielen mit dem n (die Obergrenze der Summe).

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LG. Kesselwagen

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Kommentar von Bloggi334
22.05.2016, 01:18

wow dankee sehr ausführlich :D ich schaue mir nochmal meine vorlesungsuntelagen an ..aber du hast es mir eig schon perfekt erklärt ^^ 

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Überlege mal ob x^2 gerade oder ungerade ist.

Welcher Koeffizient bleibt dann übrig?

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Kommentar von Bloggi334
21.05.2016, 17:12

Gerade.. Aber ich verstehe nicht ganz den Sinn hinter der Fourierreihe was ist das und wie viele Koeffizienten miss ich dann berechen... Bin in diesem Bereich ziemlich dumm ^^

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