Einfach darauf bestehen!!! Du kannst auch ohne Überweisung einen Termin einholen! Könnte nur u.U. länger dauern.

Gehe dringend und sehr schnell mit Deinem Kind zum Lungenarzt. Dort sagst Du einfach, Du würdest die Überweisung nachreichen.
Dann sagst Du Deinem Hausarzt, dass Du beim Spezialisten warst und wenn er sich weigern will, Dir eine Überweisung zu schreiben, dann sage ihm, das Du Dich bei der Kassenärztlichen Vereinigung UND bei Deiner Krankenkasse über ihn beschweren wirst. Das solltest Du dann auch tun. Auch wenn er die Überweisung dann vermutlich rausrückt.

Mein Rat wechsel den Arzt. Am besten heute noch. Geh noch zum Alten Arzt und verlang die krankenakte das müssen die machen. Die legst du dann dem anderen Arzt vor. Auch wenn er sehr kompetent ist, ist das fahrlässig was er macht. könntest du ihm noch vertrauen wenn sich rausstellt das dein kind etwas schlimmes hat?

Erstens Arzt wechseln und zweitens einfach Druck machen, wenn der Arzt das dann immernoch ablehnt, dann ist es kein richtiger Arzt.

Um sich ein Urteil bilden u. entsprechend kompetente Ratschläge erteilen zu können, fehlen leider ganz entscheidende Fakten wie:

Art des Hustens (dauernd = welcher Zeitraum???), Diagnose, bisherige Behandlungsstrategie, Raucher in der Umgebung, etc. etc.

Alles andere ist lediglich populistisch u. eher provokant.

Du kannst ohne Weiteres zum Lungenfacharzt gehen mit deinem Kind. Nimm die Quittung mit, dass du die Praxisgebühr schon bezahlt hast! Die Krankenkasse würde nur Probleme machen, wenn du wegen Beitragsersparnis einen Vertrag gemacht hättest, der zwingend vorschreibt, IMMER zuerst zum Hausarzt zu gehen. Außerdem warst dein Kind da ja schon in Behandlung.

Lass dich nicht verunsichern. Wenn gar nichts geht, einfach die Krankenkasse anrufen :-)