Frage von ProfHeisenberg, 40

Mehrfachintegralaufgabe?

Hallo, ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe.
Wenn ich den linken (grünen) Teil ausrechne, bekomme ich 0 raus was ja auch verständlich ist, da die Fläche im negativen gleich groß mit der im positiven ist.
Wäre es richtig wenn ich weiter mit 0 rechne oder müsste ich nur die Hälfte der Grünen Fläche ausrechnen und mal 2 nehmen ?

Danke für eure Antwort schonmal im Voraus ;)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 25

Üblicherweise integriert man innerhalb des vorgegebenen Intervalls von Nullstelle zu Nullstelle und addiert dann die Absolutbeträge.

Antwort
von hypergerd, 6

Bei Flächen immer abs(f(x))=|f(x)| oder gleiche Hälfte * 2

(sonst würde bei Wechselstrom immer 0 Watt herauskommen!)

Lösung 1:

Für die linke grüne Fläche braucht man keine Integralrechnung, da die Formel für Kreisfläche bekannt ist

(großer Kreis minus kleiner Kreis):
A=(Pi*r2²-Pi*r1²)/2=Pi*(4²-2²)/2=Pi*6

Lösung 2: 

Wenn Du Integral willst, dann nimm die Fläche oben links, spiegle sie nach oben rechts {1/4 Kreis=sqrt(r²-x²)} und *2:
A = 2* [Integral sqrt(4²-x²)]dx,x=0...4 - Integral sqrt(2²-x²)]dx,x=0...2]
=2*(4Pi-Pi)=6Pi
oder
Lösung 3:

2*Integral [sqrt(4²-x²)-sqrt(max(2²-x²,0))]dx,x=0...4
=2*3Pi=6Pi

Hinweis: Integral sqrt(4²-x²)dx=1/2 sqrt(16-x²)*x+8*asin(x/4)


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