Frage von gf20109, 75

Matrix:Zeigen Sie, dass (e1, . . . , er) eine Basis von img(A) ⊂ K^m ist.?

Hallo, ich habe eine Aufgabe,bei der ich weder vorne noch hinten voran komme. Ich wäre sehr froh,wenn mir jemand helfen könnte oder das erklären.

Es sei A ∈ M(m × n, K) eine Matrix in Zeilenstufenform von Rang r. Zeigen Sie, dass (e1, . . . , er) eine Basis von img(A) ⊂ K^m ist.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rowal, 26

Um dieses zu lösen, kann man direkt das Verfahren nach dem Gauss'schen Algorithmus anwenden. Das ist jedoch von den Bezeichnung etwas unübersichtlich, da viele Indizes erforderlich sind. Aber aus diesem Verfahren ergibt sich unmittelbar, dass die Matrixgleichung A x = b genau dann lösbar ist, wenn die letzten m - r Komponenten gleich 0 sind. Insbesondere können die ersten r Komponenten beliebig sein, d.h. die reduzierte Spaltenvektoren e1, . . . , er  sind schon mal im Bild von A. Wg. der Beliebigkeit der ersten r Komponenten von b ist die Dimension des Bildes gleich r. Jetzt bleibt noch: Sind e1, . . . , er linear unabhängig? Wenn man Determinanten verwenden will sieht man das sofort, weil:

e1, . . . , er   bilden eine quadratische Matrix (r × r) , deren Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen alle 0 sind, jedoch sind die Elemente auf der Hauptdiagonale alle ungleich 0, da es sich ja um die Pivotelemente (an den Ecken) handelt. Die Determinante dieser Matrix ist als Produkt der Elemente aus der Hauptdiagonalen ungleich 0. Folglich sind e1, . . . , er linear unabhängige Elemente aus einem r-dimensionalen Unterraum von K^m.

Allerdings ist es etwas unelegant und unnötig hier Determinanten zu verwenden, aber man kann das auch so erkennen, indem das Gleichungssystem x1 * e1 + x2 * e2 + ... +xr * er = Nullvektor aufschreibt (x1 bis xr sind natürlich Körperelemente), und von "unten" auflöst, woraus x1 = ...=xr = 0 folgt. 

So würde ich es "zu Fuß" machen.

Antwort
von Melvissimo, 42

Zeige: 

  1. e1, ..., er liegen in img(A)
  2. Die Dimension von img(A) ist r.

Warum genügt das?

Kommentar von gf20109 ,

ich weiß nicht genau,warum das genügt. aber wenn ich eine Matrix nach zeilen stufen form umforme,da kann ich ja davon dirkt vom bild Dim/Rang berechnen/ablesen. und wegen eq,...er weiß ich nicht genau warum sie im img(A). also ich kann es mir denken aber ich bin mir gerade nicht sicher wie ich es richtig ausdrücken könnte.

Kommentar von Orsovai ,

Was ist denn der Rang genau? Was ist er im Sinne von Dimension und nicht unbedingt im Sinn von unabhängige Spalten etc.

Kommentar von Rowal ,

Das frag ich dich. Das genügt nämlich nicht.  e1, ..., er müssen auch noch linear unabhängig sein.

Kommentar von Melvissimo ,

Ich nahm an, dass e1, ..., er die ersten r standard-basisvektoren des K^m sind, die (als Basisvektoren) natürlich linear unabhängig sind.

Antwort
von Orsovai, 46

Was könnte das Bild von A sein?

Kommentar von gf20109 ,

Naja bei einer Matrix gilt ja die zsmsetztung aus Ax=b. A  ist die Maztrix(mxn),x ein Vektor(mit n Einträgen) und b ein Vektor mit m einträgen. Also ist das Bild die Menge aller Vektoren b,mit der man die Matrix erzielt...oder?

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