Frage von lsfarmer, 35

Matrix invertieren?

Auf dem Heutigen Blatt sollen inverse Matrix bestimmt werden.

Es sind welche von 3X3

Hat jemand einen Lösungsansatz dazu?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 5

Hallo,

Du kannst die inverse Matrix auch über Adjunkte bestimmen.

Beispiel:

123
456
789

Für das erste Adjunkt streichst Du die erste Zeile und die erste Spalte, so daß die 2x2-Matrix 

56
89

übrigbleibt.

Du bestimmst die Determinante, indem Du Du das Produkt der Nebendiagonale, also 6*8 von dem Produkt der Hauptdiagonale abziehst:

5*9-6*8=45-48=-3

Da Du Zeile 1 und Spalte 1 gestrichen hast, multiplizierst Du diese Determinante noch mit (-1)^(1+1)=1

Es bleibt also bei -3

Diese Zahl kommt nach oben links, also an den Platz 1,1 einer 3x3-Matrix, aus der sich am Ende die inverse Matrix ermitteln läßt.

Das zweite Adjunkt entsteht, wenn Du Zeile 1 und Spalte 2 streichst:

46
79

Auch hier wird wieder über Kreuz multipliziert und subtrahiert:

4*9-6*7=36-42=-6

Der Vorfaktor ist (-1)^(1+2)=-1

(-1)*(-6)=6

Die 6 kommt in der neuen Matrix an die Stelle 2,1, also 2. Zeile, erste Spalte, genau unter die -3 von vorhin.

Die Vorfaktoren können nur -1 oder 1 sein. Hast Du eine Zeile und eine Spalte gestrichen, deren Summe gerade ist, bleibt es bei 1, ist die Summe ungerade wie bei 1+2 (1. Zeile, 2. Spalte), ist der Vorfaktor -1 und das Vorzeichen des Ergebnisses wird umgedreht. Bei einer 3x3-Matrix ist dies bei allen Adjunkten der Fall, die nicht auf einer der beiden Diagonalen liegen.

So bekommst Du das Muster

+-+
-+-
+-+

Wo ein Plus steht, änderst Du nichts, wo ein Minus steht, drehst Du das Vorzeichen um.

Weiter geht's mit Zeile 3, Spalte 1, die gestrichen werden, um das dritte Adjunkt zu bestimmen, das dann seinen Platz bei 3,1 findet.

Die Adjunkte werden also so angeordnet:

A1 -A4 A7
-A2 A5 -A8
A3 -A6 A9

Die entsprechenden Minuszeichen habe ich schon dazugeschrieben, hier wird das Vorzeichen der ermittelten Unterdeterminante jeweils umgedreht.

Für Adjunkt 4 streichst Du die 2. Zeile und die erste Spalte - so arbeitest Du Dich weiter vor bis Adjunkt 9, das nach Streichen der 3. Zeile und der 3. Spalte entsteht.

Wenn Deine neue Matrix fertig ist, bestimmst Du deren Determinante nach der Regel von Sarrus und multiplizierst die Matrix mit dem Kehrwert dieser Determinante, also mit 1/Det

Das Ergebnis ist die inverse Matrix.

Dieses Verfahren ist längst nicht so fehleranfällig wie das andere mit den beiden nebeneinander geschriebenen Matrizen.

Probiere es einmal aus.

Die Matrix oben ist nur ein Beispiel für die Bestimmung der Adjunkte. Da ihre Determinante gleich Null ist, ist sie im übrigen nicht invertierbar.

Bevor Du dies Verfahren auf eine Matrix anwendest, bestimme zunächst deren Determinante, ob sie ungleich Null ist. Ansonsten kannst Du Dir das Invertieren sparen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Noch ein Nachsatz:

Du mußt die Matrix aus den Determinanten der Adjunkte durch die Determinante der ursprünglichen Matrix teilen.

Da diese in diesem Fall 0 wäre, wird auch so klar, daß die Matrix

123
456
789

nicht invertierbar ist.

Willy

Antwort
von Slevi89, 16

Naja 3x3 lässt sich ja noch recht leicht über das Gaußverfahren lösen. ;)

Hier, ist auch ein Beispiel dabei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

 

Antwort
von Schilduin, 20

Du schreibst die Einheitsmatrix daneben sodass du eine 3x6 Matrix hast und formst die linke Matrix mit dem Gauß Algorithmus zur Einheitsmatrix um

Kommentar von lsfarmer ,

Einheits war nochmal?

Kommentar von Schilduin ,

Auf der Diagonalen nur 1 und beim Rest 0

Kommentar von lsfarmer ,

links oben nach rechts unten?

Antwort
von FuHuFu, 6

Hier zwei Videos:

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