Frage von IIZI9I5II, 11

Matrix- Populationsfrage?

Hallo, ich habe diese Aufgabe hier: Wie ist V1 zu wählen, falls jedes Tier der Alterstufe A2 entweder selbst die Altersstufe erreicht oder aber stirbt und genau ein Jungtier als Nachfolger hinterläßt?

Die Lösung ist V1= 2/3 Somit ist die Spaltensumme 1. Kann dies jedoch nicht nachvollziehen. Kann das jemand ausführich erklären???

Die zugehörige Matrix ist bei https://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/Archiv/mstproz/Muster98.html zu finden (Musteraufgabe 4/ ganz am Ende)

Antwort
von SirMahoney, 5

Hallo, diese Aufgabe ist eine Anwendungsaufgabe von Matrizen. In dem Fall die Übergangsmatrizen. Diese beschreiben wie z.B. eine Population sich im laufe eines Zyklusses verändert. Ein anderes Beispiel wäre das Wahlverhalten von Burgern, also wie viel Prozent bleiben einer Partei treu, wie viel springen von Partei A zu Partei B usw.

Hier ist ziemlich gut die Theorie hinter dem ganzen erklärt:

https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/matrizen/uebergang/uebergangsmatrix

In diesem Kontext müssen die Summe der Spalteneinträge allerdings nicht 1 sein.

Zur Frage:

Erwachsene haben zwei Möglichkeiten:
     a) Sie werden alt.

     b) Sie bekommen 1 Kind und sterben sofort

Es gibt also nicht die Möglichkeit, dass ein paar Erwachsene in einem Zyklus erst mal arbeiten gehen bevor sie Kinder haben wollen.

Gleichzeitig ist die Geburt so schwer, dass Vater und Mutter dabei sterben (wtf?) Was in diesem Kontext bedeutet, dass die Gesamte Zahl der Erwachsenen aufgeteilt werden muss und sich eben auf die Fälle a) und b) verteilt.

In der Matrix hast du angegeben wie hoch der Anteil a) ist - nämlich 1/3 - Eintrag der 3. Zeile zweite Spalte: "Wie viele Erwachsene erreichen das Rentenalter in einem Zyklus"

Nun muss nur noch folgende Gleichung gelöst werden:

        g*(1-1/3) = v_1

g ist hier die Geburtenrate. Da jeder Erwachsener ein Kind hinterlässt beträgt diese 1. Wenn 2 Erwachsene ein Kind hinterlassen wäre sie 1/2. Wenn jeder Erwachsene 3 Kinder hinterlassen würde wäre sie 3 usw.. (1-1/3) ist einfach der Anteil der Erwachsenen, der übrig bleibt, von denen die nicht das Rentenalter erreichen.

Alles eingesetzt kommt man auf 2/3.

Der schwierigere Part ist wohl auf diesen Ansatz zu kommen. :-)

LG

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