Frage von maxi1616, 51

Mathetest Stochastik?

Ich lerne gerade für ein Mathetest und verstehe die Aufgabe unten im Bild nicht.
Ich meine Nummer 20.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

zu Beginn vereinfachst Du das Ganze ein wenig, wenn Du zunächst einmal ausrechnest, wie wahrscheinlich es ist, daß Du zuerst 3 rote, danach 5 weiße Kugeln ziehst.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die erste Kugel rot ist, liegt natürlich bei 5/20 oder 1/4, denn 5 von 20 Kugeln sind rot, die anderen weiß.

Beim zweiten Zug sind nur noch 19 Kugeln im Spiel, davon sind vier rot - eine ist ja schon weg - also 4/19, danach ist es dann 3/18 oder 1/6

Die Chance für drei rote Kugeln hintereinander liegt also bei (1/4)*(4/19)*(1/6), also bei 1/114. Das merken wir uns.

Jetzt kommen die weißen Kugeln dran: Von denen gibt es unter den restlichen 17 Kugeln noch 15. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jetzt eine weiße Kugel kommt, liegt also bei 15/17. Die nächsten Wahrscheinlichkeiten sind 14/16 oder 7/8, 13/15, 12/14 oder 6/7, und 11/13

Ergibt (15*7*13*6*11)/(17*8*15*7*13)

Hier kannst Du schon mal die 7,13 und 15 kürzen, bleibt (6*11)/(17*8)

Bei 6 und 8 geht auch noch was:

(3*11)/17*4)=33/68

Multipliziert mit unserem Zwischenergebnis 1/114 ergibt das (33/68)*(1/114)

Hier können wir auch noch kürzen: (11/68)*(1/38)=11/2548

Das ist aber erst die halbe Miete. Nirgends steht geschrieben, daß die drei roten Kugeln unbedingt bei den drei ersten Ziehungen dabei sein müssen.

Sie können ja auch bei der 2., 5. und 8. dabei sein oder bei jeder anderen Kombination.

Die Frage also: Wieviel Möglichkeiten gibt es eigentlich, 3 Kugeln auf acht Ziehungen zu verteilen? Das rechnet sich über den Binomialkoeffizienten
(8 über 3), ausgeschrieben 8!/(3!*5!)=56 Taschenrechner: 8nCr3, wenn Du eine nCr-Taste auf Deinem Rechner hast.

Mit dieser Zahl müssen wir unser Ergebnis noch multiplizieren, dann haben wir es endlich: (11*56)/2548=22/91, also etwas weniger als ein Viertel.

Auf eine Formel gebracht heißt das:

(8 über 3)*[(5!/2!)*(15!/10!)]/(20!/12!)

Das Problem ist nur: Wenn Du das so in den Taschenrechner eingibst, bekommst Du ein falsches Ergebnis, weil dieser vielleicht echte Brüche anzeigt, aber intern mit Dezimalbrüchen rechnet - und die werden gerundet). 

In diesem Fall rechnest Du zunächst das ganze Fakultätenzeugs, läßt Dir das Ergebnis als echten Bruch anzeigen und gibst diesen noch einmal neu ein. Wenn Du ihn dann mit 56 multiplizierst, stimmt die Richtung. Mache ich es anders, bekomme ich jedesmal 77/323 als Ergebnis - und das ist falsch.

Ich benutze den Casio fx-991DE X, der mir ansonsten gute Dienste leistet.

Probiere es mal mit Deinem Rechner aus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Rechner: 1, Willy: 0.

Vergiß den Blödsinn, den ich am Schluß geschrieben hatte. Das korrekte Ergebnis ist genau das, was der Rechner angegeben hatte:
77/323. Das Fakultätengedöns ergibt 1/2584 - und damit hatte der Rechner auch weitergerechnet: 11/2584*56=77/323.

Ich Idiot hatte jedesmal 11/2548 eingetippt, also einen Zahlendreher gehabt. 

Also: Du kannst alles in einem Rutsch ausrechnen.

Viel Erfolg beim Test,

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 14

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

mit der Formel unter Definition und der nCr-Taste auf dem Taschenrechner kannst du es schnell ausrechnen.

Antwort
von Pretan4, 9

https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell

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