Frage von Abi2018, 23

Mathe!Tangente?

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an dem Graphen von f an der Stelle x. Kann mir jemand helfen verstehe diese Aufgaben nicht so ganz. Die Gleichung: 1÷3 × X^3 - 2×X^2 + 3×X + 4

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentialgeometrie"

Tangentengleichung an der Stelle x0 an der Funktion f(x)

yt=ft(x)= f´(xo) *(x -xo)+f(xo)

Normalengleichung yn=fn(x)= - 1/f´(xo) * (x - xo) +f(xo)

f(x)= 1/3 *x^3 - 2 *x^2 + 3 *x + 4

f´(x)=x^2 - 4 *x + 3 eingesetzt in die Formel

Tangentengleichung 

ft(x)=(xo^2 - 4 *xo + 3) * (x -xo) + (1/3 *xo^3-2*xo^2+3 *xo+3)

Kommentar von Abi2018 ,

Danke, aber geht es auch ein bisschen einfacher, weil wir sowas noch nicht hatten.

Kommentar von fjf100 ,

Diese beiden Formeln sind das Ergebnis vor der Herleitung.

Für die Berechnung der Tangentengleichung und der Normalengleichung,brauchst man diese Formeln nur noch anwenden

Es muss gegeben sein ,eine Funktion f(x) und die Stelle,wo nun die Tangente liegen soll.bezeichnet man als xo

Herleitung der Tangentengleichung

Formel der Geraden y=f(x)=m *x +b Die Tangentengleichung hat die selbe Form

m=f´(x) ist die Steigung der Geraden,f´(x) ist die 1.te Ableitung der Funktion f(x)

eingesetzt yt=f´(x) *x +b

An der Stelle xo ist yo=f(xo) eingesetzt

yt=yo=f(xo)=f´(xo) * xo + b hieraus wird b errechnet

b= f(xo) - f´(xo) * xo eingesetzt

yt=f´(xo) * x +(f(xo) - f´(xo) * xo un f´(xo) ausklammern

yt=ft(x)= f´(xo) * (x - xo) + f(xo) dies ist dann die fertige Formel ,die man nur noch anwenden muss.

Die Herleitung der "Normalengleichung" geht genau so.

Antwort
von Blvck, 11

etwas länger als der Weg von fjf100, aber vielleicht ja für dich einfacher

1. Eine Tangente ist eine Gerade, d.h. die Funktion der Tangente muss nachher irgendwie so aussehen: t(x) = mx + b

2. Als erstes berechnest du m, also die Steigung. Genauer gesagt die Steigung an der Stelle x, sagen wir mal x ist 2 (f(x) ist dementsprechend 14/3). Dazu musst du einfach nur 2 ist die erste Ableitung einsetzen.

f'(x) = x² - 4x + 3
f'(2) = 2² - 4*(2) + 3 = -1

Unser m ist hier also -1

3. Jetzt setzt du m und die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

14/3 = -1 * 2 + b
14/3 = -2 + b | +2
20/3 = b

Damit lautet die Gleichung t(x) = -x + 20/3

Kommentar von Abi2018 ,

Meinst Du mit "14/3" 14÷3?

Kommentar von Blvck ,

ja / heißt auch geteilt, also ein Bruchstrich

Kommentar von Blvck ,

ja / heißt auch geteilt, also ein Bruchstrich

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